四元群简介：标示为Q，不可换群

cjsh

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Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}
被写成乘法的形式，以下列的8个元素
Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}
这里，1是单位元素，(−1)2 = 1且对每个Q内的a，(−1)a = a(−1) = −a。剩下的乘法律能由下列的关系获得：

Q的凯莱表如下：

Q的环图。每一种颜色代表连结至单位元(1)之任一元素的次方。例如，红色的环反映了i2=−1、i3=−i和i4=1的事实。红环亦反映了(−i)2=−1、(−i)3=i和(−i)4=1之事实。
需注意的是，此一群为非可换的；如ij=−ji。Q有着汉弥尔顿群较不常见的性质：每一个Q的子群都是其正规子群，但这个群不是可换的。每一个汉弥尔顿群都会含有一个或多个Q。
在抽象代数里，可以造出一个其基底为{1,i,j,k}的实四维向量空间，且使用上面的乘法表和分配律来形成一个结合代数。其即为一个称为四元数的除环。需注意的是，这并不是在Q上的群代数(其应该是8维的)。相反地，亦可以先由四元数开始，再“定义”出由八个元素{1, −1, i, −i, j, −j, k, −k}所组成之乘法子群做为四元群。
i、j和k都是Q内4目的元素且选定其中任两个都可以产生出整个群来。Q有着下列的展现

其中可以取成i=x、j=y及k=xy。
Q的中心及交换子群为{±1}。其商群 Q/{±1}会同构于克莱因四元群V。Q的内自同构群会同构于Q同余其中心，且因此也会同构于克莱因四元群。Q的全自同构群会同构于对称群S4。Q的外自同构群因此为S4/V，其会同构于S3。
四元群Q亦可视为是作用于在有限体GF(3)上之二维向量空间的八个非零元素。关于其图像，请见图像化GL(2,p)。
1 i j k −1 −i −j −k 1 1 i j k −1 −i −j −k i i −1 k −j −i 1 −k j j j −k −1 i −j k 1 −i k k j −i −1 −k −j i 1 −1 −1 −i −j −k 1 i j k −i −i 1 −k j i −1 k −j −j −j k 1 −i j −k −1 i −k −k −j i 1 k j −i −1
1. 广义四元群
一个群若被称为广义四元群，则表示其有一个展现

其中n为大于3的整数。此一群的目为2n。原本的四元群为n=3时的特例。广义四元群可以被理解为单位四元数的子群，其产生子为


广义四元群是双循环群此一更大类型的一类。广义四元群有着每个可换子群都是循环的性质。可证明一具有此性质(每个可换子群都是循环的)之有限p-群若不是循环群就是广义四元群。
2. 另见
四元数
克莱因四元群
双循环群
赫尔维茨四元数
十六胞
分类: 群论, 有限群, 四元数
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