设点 A(1,-2,3) 与平面 ax+by+cz=0（a,b,c 不全为 0）的距离为 d ，求 d 的最大值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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1） 依据E的方程，E平面过原点。
2） 以A为球心，以A到原点的距离（即（1+4+9）^0.5 = 14^0.5）为半径做球。
3） 该球与E平面有公共点(原点就是一个公共点）
4） 若该球与E有多于1个的交点，则球与平面相交为圆，原点在该圆上，该圆整体，也包括圆心在E平面上，该圆圆心到球心(A点）必比圆上点（原点也为圆上点）为短。
所以，当该球与E相切时，d最大，届时d= 14^0.5

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该球与E相切，则从A点指向原点的矢量，与E方程的法线矢量同向（或反向）。所以，E的方程为：x-2y+3z=0  (或三系数同乘常数)

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luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。下面是此题的详细解答过程：

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另一个方法：

E过原点
做A到原点矢量  M=（-1,  2 ,  -3）
设 a^2+b^2+c^2 = k^2    (k>0)
命名：E平面法线的单位矢量 为 N ，  N=(a/k，b/k，c/k)

则，A到E平面的距离 = 【 A到E上某点（这里是原点）的矢量】M   对   N   的投影 （的绝对值）。
即： d = | (-1,2,-3) . （a/k,b/k,c/k）|  = | (a-2b+3c)/k |
但，由于 | M.N |<=  |M|*|N|=14^0.5*1=14^0.5   且当M与N同向或反向时达到这个值。
所以，A到E的距离d， 以M与N同向时最大，届时d=14^0.5， a:b:c=1:-2:3

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此方法与陆老师的方法 基本一致。 既可以从点面距离公式结合柯西不等式出发达到这个过程，也可以从向量逻辑达到这个过程。
（|M.N|<=|M|*|N|,  也属于柯西不等式的一种表现形式，该公式中其向量的维数并不限于三维。）

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陆老师的方式，结合解析几何中的点面距离公式和柯西不等式。很是简洁。
我在2楼的回答，是想尝试以纯几何的思想来解决这个问题。

现对于2楼的方式再做一些修改（完善 ）如下：

1） 因为 平面E的方程是齐次方程，所以，原点 O 在平面E上。
2） 以A为球心，以A到原点的距离（即（1+4+9）^0.5 = 14^0.5） 为半径作球P。
3） 由球P的作法， 原点 O 在 球 P 上。于是，平面E 与球 P 有交点。
   以下分两种情况讨论：
4） 当  平面E 与 球 P 有一个以上的交点时
     考察某交点 B（B不为O）和A、O 构成的三角形 △ AOB，
    在△ AOB 中：
    因为： O和B 都在球P上；A为球P的球心
    所以：  AO=AB=14^0.5
              △ AOB 为等腰三角形
    因为：B和O 都在平面E上
    所以：等腰三角形 △ AOB 的底边 BO  在平面E上
    设BO中点为C， C也在平面E上。
    因为：等腰三角形底边中线=高
    所以：AC 垂直并平分BO
    有   AO^2 = AC^2 + CO^2  (勾股定理)
    所以:  AC < AO    (这也可直接依据等腰三角形的中线短于腰来获得)
    因为：C 在平面E上
    所以：点A到平面E的距离d  <= AC< AO
    所以：d<14^0.5
5)  当球P与平面E只有一个交点O，即，球P 切平面E于O 时，
    球心A到切点O的连线垂直于平面E,  AO即为A点到平面E的距离
   即：d=AO=14^0.5
6) 综合 4），5） 两种情况， 得到：
    当球P与平面E只有一个交点，即球P切平面E于O时，
   d得到最大值  14^0.5

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本题，由于所给的平面E的方程，其条件很宽泛， 三个待定系数只有一个最基本的限制，即平面的法矢量的模不为0
所以，从几何来看， 本题可看作 某个动平面E，以原点为唯一支点，不受约束，三维度任意转动。 求转动到何姿态时，与A点距离最大，这个最大值是什么。

   

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。