求1/x+1/y=1/z的所有整数解

ataorj

1/(ab(b+c))+1/(ac(b+c))=1/(abc)
和
1/(abc)+1/(ab(b-c))=1/(ac(b-c))
是否仅仅任意使用一个就可以了呢？

ataorj

好像是的，因为相互对应
但是关键一个公式能否表达出另一个想表达的那个同一个结果形式

ataorj

恒等式:
1/(abc)+1/(ab(b-c))=1/(ac(b-c))
1/(np(p+q))+1/(nq(p+q))=1/(npq)
---------
当n=a,q=c,p=(b-c),也恒有:
(abc)=(nq(p+q))
(ab(b-c))=(np(p+q))
(ac(b-c))=(npq)

elim

设整数 x = ad, y = bd, xyz  ≠ 0, d = gcd(x,y), gcd(a,b) = 1 使得
1/z = 1/x + 1/y = (a+b)/(abd), 则 (a+b)z = (ab)d, gcd(a+b,ab) = 1.
于是 (a+b) | d, 有某整数 k ≠ 0 使 d = (a+b)k. 所以不难看出
(x,y,z)= k(a(a+b),b(a+b),ab) (ab(a+b)k ≠ 0) 是 1/z = 1/x + 1/y 有
整数解的充要条件(通解)．

xfhaoym

谢谢elim，好好看看。

王守恩

题目：  1/X+1/Y=1/Z      X、Y、Z均为正整数， X≤Y。  
问题：当Z是给定数时，1/X+1/Y=1/Z 有多少个解数，并给出一个一个一个具体的解数。

elim

王守恩 发表于 2017-7-31 05:09
题目：  1/X+1/Y=1/Z      X、Y、Z均为正整数， X≤Y。  
问题：当Z是给定数时，1/X+1/Y=1/Z 有多少个解 ...

对楼上的问题，具体的解取决于具体的 z.

例：z = 6=1×2×3
(x,y,z)=k(a(a+b),b(a+b),ab), gcd(a,b)=1, 0<a≤b
a=b=1, k=z, (x,y,z)=(12,12,6)
a=1,b=2,k=3, (x,y,z)=(9,18,6)
a=1,b=3,k=2,(x,y,z)=(8,24,6)
a=2,b=3,k=1,(x,y,z)=(10,15,6)