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我与现行的形式主义逻辑主义都有不同。[美]M.克莱因 著《数学：确定性的丧失》说到：现行数学理论中的许多争论着的问题，并在序言中指出：“人类对于宇宙以及数学地位的认识被迫做出了根本性的改变，……许多数学家可能更愿意把对数学当前地位的揭示控制在数学圈里，公开曝光这些困难也许会出现不好的结果，家丑不可外扬嘛。但是，受理性指导的人们必须充分认识到他们所掌握的工具的力量，认识到推理的能力及其局限性，这远比盲目相信有益得多，后者很可能导致错误的思想甚至毁灭”。具体来讲,从这本书的论述中应当知道：第一，虽然罗素（Russell,B.）曾经相信过“所有逻辑公理都是真理”，但是“在《数学原理》1937年的版本中，他放弃了这个观点，他不再相信逻辑的原理是先验真理”。第二，虽然可以使用“形式公理公理方法建立一些数学理论的逻辑体系”，但是哥德尔不完全定理说明：完备而又相容的形式公理体系是不存在的；对形式公理体系必须联系实际的说明数学符号与公理的现实意义与应用范围。例如：对ZFC公理中无穷公理就需要说明那个存在的集合的实际意义与性质（具体叙述见下文）。1962年，笔者发现：“连续型随机变量在一点发生的概率是不是零呢？”“物体按照瞬时速度运动的时段长是不是零呢？”的问题。笔者不满意Б.В.《概率论教程》中“至于这集合（基本空间U）的元素究竟是什么东西，这对于概率论的逻辑发展而言是可以不加分辨的”的论述，也不满意复旦大学编《统计数学》中“U中的某些子集（其全体记作F）作为事件……，至于究竟需要哪些子集，则需视具体情况而定”的论述；笔者希望能够从基本事件发生的概率算出各种事件的概率。为此,笔者查看了И.П.那汤松 著《实变函数论》中的点集与测度理论，发现了“不可测的有界集存在” 的定理，这个定理就是只研究某些子集发生概率的原因,但也说明:现行数学理论是不完善的。后来又在马忠林译[苏]Д.И.别列标尔金著《初等几何教程》上卷看到“位于直线上任何两点之间，有无限多个另外的点，这些点的集合，叫做线段”的论述。对于这个论述，笔者提出了“点有没有大小的问题？（即当点没有大小时，点的集合不可能构成线段；若点有大小，这种点的大小是什么数呢？）”的问题。
说明四：笔者认为实数理论是反映现实数量大小及其关系的理论；虽然现实数量的大小具有可变性，但在足够小变化可以忽略不计的情况下，可以认为它们的大小是确定的。 为此，笔者提出的实数定义是：
定义11（理想实数定义）： 现实数量的大小（包括现实线段长度）的绝对准表达符号叫做理想实数（简称为实数）。例如，一个线段长度的三分之一，每一份的长度可以用有理数1/3表示；实数中不能用有理数绝对准表达的理想实数都叫无理数。例如：以1位边长的直角三角形的斜边长可以用√2表示，这个符号就是无理数；直径为1的圆周长可以用π表示，这个符号也是无理数，这个符号还表示任意圆的圆周长L与其直径D的比，所以又称它为圆周率。
不能认为：实数是建立在无尽小数概念之上的数字，不能认为：有了无尽小数之后，才有这些实数。只从无尽小数表达式认识实数的方法，由于无尽小数只能写出前几位后加点点点，这样就会产生许多误解。例如：有人计算无理数 e×905414851152557371÷783415613826524536 时得到的前32位小数3.1415926535897932384626433832795与圆周率的前32位一致；计算分数103993/33102得到前九位小数 3.14159265与圆周率的前九位一致，他们把算到的数加上点点点的表达式，仅仅是表面上与圆周率的无尽小数表达式一致，但深入研究起来，它们是不一致的。所以就会有把其它无理数或有理数误认为圆周率的错误见解。
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发表于 2017-8-5 16:26