范畴和函子

cjsh

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范畴论(category theory)简介
一个建议: 大家以后可以把数学版当作一个blog, 写的一些数学方面的科普or杂文or学术文, 只要
长度合理都可以发在这里. 这篇文章是我关于范畴论的一个简单科普, 里面设有一些小练习.
1: 为什么要考虑范畴论:
数学的不同对象往往在某些方面有相似的表现, 比如说实数域上函数的集合的
不同子集, 在函数复合, 相加, 相乘等运算下有了不同的代数结构, 成为群, 环,
域, 模等等, 这些代数结构往往有相似的表现, 或者说, 人们往往沿着相似的路径
去研究他们, 比如考虑它们之间的对应关系, 零点集的性质等等, 于是一门新的
学科应运而生, 名曰" 范畴 ". 一般人们认为这是可以取代集合论的现代数学语言

2: 神马是一个范畴:
一个范畴C 由两类数据组成, 一类称为 " 对象 ", 另一类称为 " 态射(或箭头) ", 分别
记为Obj(C) 和 Mor(C), 它们被要求具有如下结构:
(a): 对Obj中的每两个元素A,B, 对应有Mor中某些元素构成的集合Mor(A,B)
(b): Mor(A,A)中至少含有一个元素IdA, 称为恒等元.
(c): 态射可以做复合, 跟恒等元的复合不改变原来态射的行为, 且复合满足结合律.
(作为一个练习, 请读者给出(c)的严格陈述.)
另外如果一个态射可逆, 我们就称其为同构态射( 请读者给出其严格陈述 ), 恒等元
是最简单的同构态射.

3: 范畴的例子:
有了上面的定义, 我们来看下两个常见的范畴:
例一: 由全体集合所组成的范畴Set: 其对象为全体集合(注意, 全体集合本身并不构
成一个集合), 其态射为集合间的映射.
例二: 现在考虑一个结构较丰富的范畴Vec, 其对象为有理数域上的线性空间, 态射
为线性变换, 请注意到两个对象所关联的态射集合有可能是空集. (作为一个练习,请
读者思考, 此时什么样的两个对象所关联的态射集里有同构态射?)

4: 神马是一个函子:
有了范畴的概念, 数学家们自然不会满足于仅仅考虑范畴自身的结构, 一个基本想
法是, 两个不同的范畴之间会有什么联系, 怎样合适的定义这些联系, 于是我们有
函子的概念:
假设现在有两个范畴C1, C2, 则一个从C1到C2的协变函子F是指两个映射:
F:Obj(C1)--->Obj(C2)  与  F:Mor(C1)--->Mor(C2). 并被要求满足:
(a): 对Obj(C1)里的A,B, 及 Mor(A,B)里的f, F(f)是Mor(F(A),F(B))里的元素
(b): F把恒等元映为恒等元.( 请读者给出严格陈述 )
(c): F保持态射的复合.( 请读者给出严格陈述 )
除了协变函子我们也有逆变函子的概念, 这只需把上面的定义中的 " F(f)是
Mor(F(A),F(B))里的元素 " 改为 " F(f)是Mor(F(B),F(A))里的元素 ".
(请读者给出完整定义)

5: 函子的例子:
例一: 遗忘函子, 这是最常见的一类函子, 比如考虑Vec里的对象到其底集合中的
映射, 这便是一个Vec到Set的函子, 我们 " 遗忘 " 了一个线性空间本身的代数结构.
例二: 对偶函子, 这是一类逆变函子, 比如考虑Vec, 那么每个线性空间到其对偶
空间的映射便给出一个Vec到Vec的逆变函子.(请读者按照定义写出完整证明.)

6: 补遗:
1: 可能一开始接触会认为上面提到的逆变函子不太自然, 但实际上在"对偶范畴"的概念下,
逆变函子和协变函子是可以相互转化的, 实际上它们的定义在某些书里也是颠倒过来的.
2: 知道"群"的概念的同学可尝试做一个小练习: 一个群其实是某个只包含一个元素的范畴.
3: 范畴论对初学者无疑是抽象甚至枯燥的 ( 有人戏称范畴论是 " 抽象的废话 " ), 但如果常
常思考, 碰到一个对象就猜猜范畴论里的可能解释, 往往也蛮有意思, 而且范畴论事实上大大
减少了数学家们的工作, 使其一开始就可以把自己的想法建立在最广泛化的情景上.
4: 胡乱使用范畴论中有时会产生一些集合论意义上的麻烦, 这一点请务必注意. 避免这些
麻烦的一个著名方法称为Grothendieck的universe公理, 我不熟这个, 随便侃侃.
5: 范畴论中产生的一个重要技术成为universal property, 由于本文面向所限, 无法展开叙述,
但有心进一步学习的读者应注意这个概念.
6: 有一些基于范畴论的计算机编程语言, 比如Haskell, 感兴趣的读者可参考这篇文章:
http://www.yi-programmer.com/blog/2010-04-06_haskell_and_category_translate.html

7: 进一步阅读文献
下面列一些文献, 感兴趣者可找来读:
1: Mac Lane : Categories for working mathematician
2: Gelfand, Manin: Methods in homological algebra
3: Weibel: An introduction to homological algebra
4: Hilton, Stammbach: A course in homological algebra
5: 周伯勋: 同调代数
当然这些书基本上都是在讲同调代数的, 因为单独的范畴论确实比较枯燥...
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http://en.wikipedia.org/wiki/Functor_category