四色猜测的手工证明（修订稿）（一）

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三十多年研究四色问题的总结

四色猜测的手工证明（修订稿）（一）
——证明四色猜测的十多种方法汇编
雷  　明



二○一七年七月•西安

作   者   介   绍



雷明，陕西华阴人，1946年2月生，中共党员，高级工程师，陕西省数学会会员，现已退休。1970年由中南矿冶学院（今中南大学）有色冶金系选矿专业毕业。毕业后在中国人民解放军6090部队沉湖农场（湖北）劳动锻炼一年半，后一直从事有色金属——钼的选矿工作。先后曾任河南省栾川钼矿技术员，河南省栾川县工业局副局长，陕西省金堆城钼业公司选矿厂生产技术科副科长，选矿厂总工程师、经营副厂长，金堆城钼业公司教育处处长，退休前曾兼任过中国有色金属系统中小学学习方法研究会副秘书长、副会长等职。曾先后独立设计，并组织施工、试车、投产了日处理矿石能力为50—15000吨的中小型选矿厂11个，所涉及的矿种除钼以外，还有钨、金、银、铜、铅、锌、铁、硫、磷、萤石等10种。在《有色金属》杂志“选矿部分（卷）”和《中国钼业》杂志上发表过有关理论研究、科学实验、技术改造、生产管理、经营管理等方面的论文多篇。1980年在河南省科学大会上曾获河南省重大科技成果三等奖。2002年被收入《中国百科专家学者经典》辞书中。1985年起独自研究四色问题、哥德巴赫猜想、多面体欧拉公式等难题至今。2006年退休后，开始整理研究成果。


三十多年研究四色问题的总结

四色猜测的手工证明（修订稿）

——证明四色猜测的十多种方法汇编

雷  明

二○一七年七月•西安

内  容  简  介
任何问题的解决，绝对不会只有一种方法，从不同的角度出发，一定会有多种不同的解决办法的。本书就是作者三十多年来研究四色问题的总结。作者根据自已的研究，祥细的介绍了自已所用的十多种不同的方法，对四色猜测进行的证明过程，都得出了猜测是正确的结论。不是什么不用电子计算机就证明不了的问题，也不是没有新的数学理论的出现就不能解决的问题。
本书适用于中学生，大学生，研究生，大学教师阅读，也适用于对四色问题进行研究的专业的图论数学工作者和非专业的难题爱好者研究之用。

前      言
   
本书是作者关于四色猜测证明的论文专辑，是作者三十多年来研究四色问题的总结。可供中学生，大学生，研究生，大学教师阅读之用，也可作为从事四色问题研究的专业的图论数学工作者和非专业的难题爱好者研究之用。
一九八四年和一九八五年我曾两次脱离工作岗位去学习计算机语言（全国国有大中型企业长矿长统考考前培训班），可计算机语言并没有学好，却对四色问题产生了浓厚的兴趣。从一九八五年开始，我就一直在利用业余时间独立的来研究四色问题，至今已有三十多年了。
可能有人要问，学习计算机怎么会与四色问题联系在一起，并对其产生了兴趣呢。原因是这样的：学习计算机语言的目的，是为了编程序，编出的程序是要让计算机去执行，代替人去做事的。但那时老师和教学资料上都讲到，一个半世纪以前提出的地图四色猜测，人一辈子时间也证明不了，而在电子计算机问世之后却被电子计算机证明了。我觉得这种说法不大妥当，所以也就产生了想自已用手工对四色猜测进行证明的想法。
计算机本身就是人脑智慧的产物，哪有人还不能证明是正确还是错误的东西，而能被计算机证明是正确的道理呢。难道人还不会做的事，计算机就能会做吗。计算机作为一种计算工具，它只能按人的意志——人编写出来的程序，机械的、一步也不偏离的去执行，它也不会象人脑那样可以进行思维，它绝对是不会证明四色猜测的。所谓电子计算机证明了四色猜测，只不过是人利用计算机对有限个平面图或地图进行的4—着色而已，因为人能把着色的方法编写成程序“教给”计算机，让计算机“按照”人的想法代替人去对人仅给了计算机的那些个有限的图进行的着色。即就是说计算机能证明四色猜测，但计算机实际上还是在人的指挥下进行工作的，这从这一点上说，还是人在进行证明的。但计算机所着过色的图也是有限的，还不到2000个，而“图”却有无穷多个，是一个无穷的集合，永远是不可能把所有的图着色完毕的。所以说计算机着过色的图再多，也是不可能把所有的图都着色完的，这样也就永远不能说明四色猜测就是正确的。
起先，我也和前人一样，也是进行着色，所着过色的图，也都是用了不超过四种的颜色。但这本身与计算机的所谓“证明”是一样的，也只是对有限个图进行的4—着色，也不能说明四色猜测就得到证明是正确的。有一次我因病住院治疗，无意中想到了把图的密度与着色联系起来，才想到了从图论出发，不对任何一个图，任何一个顶点进行着色，而把图顶点的着色与图顶点的同化联系起来，求出任意图顶点同化时的最小完全同态，得到图的最小完全同态的顶点数与图的色数和图的密度的关系，从而得到任意图顶点着色时色数的界，再把平面图的特点——密度不大于4考虑进去，就能得到任何平面图顶点着色时的色数总不会大于4的结论，从而证得四色猜测是正确的。
在我用图论方法证明四色猜测之前，我已对一百多年前构造出的、直至一九九二年前还未看到是可以4—着色的Heawood—图成功的进行了4—着色，并在陕西省数学会一九九二年三月六日至八日于西安空军工程学院（现改名为西安空军工程大学）召开的第七次代表大会暨学术年会上作了学术论文报告（八日上午），当场对Heawood—图进行了4—着色表演。由于图的种类、个数及顶点数都是无穷的，永远不可能着完，而Heawood—图也只是其中的一个，只能是个别的，所以我在报告的最后提出了走“不画图，不着色”的研究四色问题的道路，得到了与会专家及学者的高度好评。
一九九四年九月二十六日至二十九日我又参加了陕西省数学会在延安大学举行的一九九四年的学术年会，并作了任意图的最小完全同态的顶点数（即图的色数）不大于其密度的1.5倍和四色猜测证明的学术论文报告。由于平面图的密度不大于4，且密度为4的平面图不可能有不可同化道路，因而得也了任何平面图的色数都不大于4的结论，使四色猜测得到了证明是正确的。
此后，2006年8月9日至11日还参加了在宁夏银川召开的“第五届全国现代科学计算研讨会、第二届西部地区计算数学年会暨首届海内外华人青年学者计算数学交流会”（简称“数学三会”），作了我认为对哥德巴赫猜想应从数集合角度进行研究的设想；2010年和2012年还分别于徐州师范学院和洛阳师范学院参加了第四届和第五届“全国组合数学与图论大会”，并作了用图的同化理论证明四色猜测的学术论文报告。
现在我的“不画图，不着色”证明四色猜测的目标已经达到，并且不只是一种方法，而是有十多种方法，从不同的角度都能证明了四色猜测是正确的。现将自已的研究结果，整理成此册并出版，献给四色爱好者和专业的图论工作者，愿与专业的数学工作者和非专业的难题爱好者共勉，或许也能对四色问的研究起到一定的促进作用。
本书中的各篇论文，除了《四色问题简介》外，都在《中国博士网》的《数学论坛》栏目（网址是：
）和《数学中国》网的《哥猜等难题和猜想》栏目（网址是：）上发表过。

作者：     雷   明
二○一七年七月七日于长安

目          录

前言                                               （1）
目录                                                 （1）

一、四色问题简介                                         （1）
二、我研究四色问题的思想方法                             （5）
1、把一个无限的问题变成有限的问题                    （5）
1、1  平面图的着色                                   （5）
1、2  破圈着色法                                     （5）
1、3  待遇着色顶点的着色                             （5）
1、4  5—轮构形                                      （7）
2、5—轮构形都是可约的                               （9）
2、1  H—构形                                        （9）
2、2  Z—构形                                        （12）
3、四色猜测是正确的                                 （14）
三、四色猜测是可以手工证明的                            （15）
1、H—构形的不可免集                                （15）
2、H—构形不可免集完备性的证明                      （18）
3、不可免的H—构形可约性的证明                      （21）
4、有环形链的H—构形一定可以通过“断链”交换
转化成K—构形的证明                                （24）
4、1  有A—B环形链的断链交换
可转化成K—构形的证明                              （24）
4、2  有C—D环形链的断链交换
可转化成K—构形的证明                              （25）
5、无环形链的H—构形也一定可以通过“转型”交
换转化成K—构形的证明                              （26）
5、1  无环型链的H—构形构形可以转化成
可以同时移去两个同色的K—构形的证明                （26）
5、2  无环形链的H—构形可以转化成类赫渥特图型
的H—构形，再转化成坎泊的K—构形的证明             （27）
6、四色猜测的证明                                   （28）
四、无割边的3—正则平面图是可3—边着色的，
四色猜测正确！                                      （30）
1、泰特猜想是正确的                                 （30）
1、1  从可3—边着色到可4—面着色                   （30）
1、1、1  可3—边着色的无割边的3—正则的
平面图的面着色数一定是4的证明                      （30）
1、1、2  可3—边着色的无割边的3—正则的
平面图的面着色主要有两种实际染色的操作方法          （31）
1、1、3  两个有关3—正则平面图的面着色色数的猜想   （34）
1、1、4  3—正则平面图边、面着色的总色数            （35）
1、1、5  颜色叠加原理的理论分析                     （35）
1、2  从可4—面着色到可3—边着色                   （36）
1、2、1  互斥的边界线                               （37）
1、2、2  互斥的边界线在3—正则的平面图中只有三对    （38）
1、2、3、可4—面着色的无割边的3—正则
平面图一定是可3—边着色的                           （38）
1、2、4  用反证法证明可4—面着色的
无割边的3—正则平面图一定是可3—边着色的           （39）
1、3  泰特猜想是正确的                              （39）
2、无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的          （40）
2、1  无割边的3—正则平面图一定可以3—边着色       （40）
2、1、1  无割边的3—正则平面图一定可以划分
为一个或若干个偶圈                                  （40）
2、1、2  无割边的3—正则平面图一定可以3—边着色    （41）
2、2  图的边着色                                    （42）
2、3  无割边的3—正则平面图的可3—边着色操作方法   （43）
2、3、1  第一种操作方法                             （44）
2、3、2  第二种操作方法                             （44）
3、对无割边的3—正则平面图都是可3—边着色的检验    （44）
3、1　证明有n＋1个面的图仍是一个3—正则的平面图    （45）
3、1、1  a和b两点所在边的两个相邻面的边数的
改变对3—正则平面图中的奇数边面的总个数的影响       （45）
3、1、2        被a和b两点分成两个面的那个面边数的
变化对3—正则平面图中的奇数边面的总个数的影响      （46）
3、1、3  有n＋1个面的图仍是一个无割边
的3—正则平面图                                    （46）
3、2　证明这个有n＋1个面的图仍是可3—边着色的     （47）
3、2、1  a、b两顶点处在同一个边2—色圈上的情况     （47）
3、2、2  a、b两顶点处在不同的边2—色圈上的情况     （49）
4、四色猜测的证明                                   （52）
五、用增加图的色数证明四色猜测的两种方法                （53）
1、根据不可同化道路原理，证明四色猜测是正确的       （53）
1、1  作一个图的色数比原图的色数大1的
方法之一——不可同化道路法                          （53）
1、2  色数为n的图一定可以同化为一个Kn图            （54）
1、3  对各种团作不可同化道路                        （54）
1、4  K4团作了不可同化道路后不再是平面图的证明      （56）
1、5  四色猜测是正确的                              （56）
2、根据米歇尔斯基操作原理，用反证法证明四色猜测     （57）
2、1  作一个图的色数比原图的色数大1的
方法之二——米歇尔斯基操作法                        （57）
2、2  平面图的M—操作                              （58）
2、2、1  图中无圈的情况（即只有一个面的情况）          （59）
2、2、2  图中有圈的情况（即有两个以上面的情况）        （60）
2、3  除了3—圈（即K3团）以外的面数大于2的
图进行M—操作后都不再是平成图的证明                （60）
2、4  除K1图外任可平面图都不可再进行第二次M—操作  （61）
2、5  四色猜测是正确的                              （62）
六、“不画图，不着色”，证明四色猜测的四种方法            （63）
1、用哈德维格尔猜想来证明                           （63）
2、用图的色数一定等于图的最小完全同态
的顶点数来证明                                      （63）
3、用不可同化道路的条数小于等于图的
密度的一半来证明                                    （64）
3、1  不可同化道路                                  （64）
3、2  图顶点着色色数的界                            （65）
3、3  密度为1，2，3的平面图的色数都小于等于4       （65）
3、4  密度ω＝4的平面图中，根本就不可能
存在不可同化道路的证明                              （65）
4、 用米歇尔斯基操作来证明                          （66）
4、1  什么是米歇尔斯基操作                          （66）
4、2  密度是2的平面图的色数是不会大于3的          （67）
4、3　密度是3的平面图的色数是不会大于4的          （67）
4、4　密度是4的平面图M—操作后是一个非平面图       （67）
4、5　密度是1的平面图不能进行M—操作               （67）
4、6　顶点数大于等于4的圈，在M—操作后所得的
图不再是平面图的证明                                （68）
4、7　K4团在M—操后所得的图不再是平面图的证明       （68）
七、纯公式推导证明四色猜测的三种方法                    （70）
1、用平面图中可嵌入的最大完全图的顶点数来证明       （70）
2、用平面（或球面）上不存在五色地图来证明           （70）
3、用赫渥特地图着色公式来证明                       （74）
4、林格尔公式与赫渥特地图着色公式是互为反函数的，
可以相互推导，但不能用以相互证明                        （75）
八、证明四色猜测的其他三种方法                          （77）
1、用反证法进行证明                                 （77）
2、用数学归纳法进行证明                             （77）
3、用断链法进行证明                                 （79）
九、附录一：两个关于地图着色色数的猜想                  （82）
1、泰特猜想                                         （82）
2、同一个图，颜色叠加可产生不同的着色结果           （82）
3、两个关于地图着色色数的猜想                       （83）
4、原因分析                                         （83）
5、需要解决的两个问题                               （87）
十、附录二：我对无割边3—正则平面图可3—边着色的研究   （89）
十一、附录三：多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的        （93）
    1、亏格为0的平面图的欧拉公式的推导                 （93）
    2、亏格为1的非平面图的欧拉公式的推导               （94）
    3、亏格为0和1的图的欧拉公式                       （97）
    4、多阶曲面上图的欧拉公式                           （98）
    5、使用多阶曲面上图的欧拉公式要注意的问题          （101）
十二、附录四：赫渥特地图着色公式也适用于
亏格为0的平面图                                   （103）
1、赫渥特地图着色公式的推导                        （103）
2、任意图顶点平均度的界                            （104）
2、1  任意图顶点平均度的上界                       （104）
2、2  任意图顶点平均度的下界                       （104）
2、3  任意图顶点的平均度曲线                       （105）
2、4  综述                                          （116）
3、韦斯特对赫渥特地图着色公式的证明                （116）
4、赫渥特地图着色公式同样也适用于
亏格为0的平面图                                   （119）

编后记：                                           （121）

参考文献                                           （123）
   

一、四色问题简介
雷  明
（二○一七年四月三十日）

四色猜测也叫四色问题。
四色猜测是1852年由英国的绘图员法朗西斯在绘制英国地图的过程中提出的。即是把一个平面分成若干个区域，给每一个区域染上一种颜色，使得有共同边界的区域不着同一颜色，大概最多四种颜色就够用了。
由于法朗西斯自已不能对其进行证明是否正确，便请教他当时正在大学读书的弟弟，弟弟也不能解决，经哥哥的同意后，便请教自已的老师——伦敦大学的教授、著名的数学家莫根。可莫根也无法解决，但他认为这是一个崭新的东西。便又把这个问题写信告诉了他在三一学院的好友、著名数学家和物理学家哈密顿。可惜哈密顿并没有重视这一问题，三天后他对莫根回信说：“我可能不会很快就考虑你的‘四元组’问题”。但以后再无下文。虽然是这样，莫根仍在大力的对四色问题进行着传播。由于他的努力，四色猜测也才引起了数学界的重视。
四色猜测自提出以后，整整过去了二十六年，到了1878年6月13日在伦敦的数学会上，著名的英国数学家凯莱正式询问四色问题是否得到解决。在次年的英国皇家地理学会上，凯莱再次提出了这一问题，并在该会创办的学会会报上发表。这时四色问题才引起了人们的高度重视。吸引了一批有才华的人才去研究四色问题。
1879年，律师出身的坎泊，在《自然》杂志上发表文章宣布他证明了四色猜测；1880年泰特又根据一个错误的猜想——每个平面三次图都有哈密顿圈——也给出了一个证明。但在11年后的1890年，赫渥特构造了一个图，找出了坎泊证明中的漏洞；而又在六十六年以后的1946年，著名图论大师塔特构造了一个没的哈密顿圈的平面三次图，证明了泰特的证明也是错误的。
在1890年以后的一个多世纪里，虽有大量的人才去对四色猜测进行研究，但都没有从理论上使四色猜测得到彻底的证明，直到现在，四色猜测是否正确，仍然还是一个迷。
1976年6月，美图的阿贝尔等人宣布他们用高速运转的电子计算机证明了四色猜测，其实只是用计算机对近2000个图进行的4—着色验证，不能算作证明。由于其“证明”不可视，至今也没有得到全世界数学界的公认。
四色猜测自1852年提出后，已有二十八年过去了，也无人知道四色猜测是谁提出的。到了1880年，四色问题引起了人们的高度重视后，法朗西斯的弟弟弗内德里（当时已成为一名物理学家）才在杂志上发表文章说：大约在三十年前，他当时还是莫根班里的一名学生的时候，他的哥哥法朗西斯首先告诉他地图四色问题。因为他无法解决，所以才去请教他的老师莫根的。二十八年过去后，总算找到了猜测的提出人。法朗西斯自已后来也成为一名数学教授，任教于开普敦的南非大学，一直活到1899年。可惜他对自已提出的四色猜测并无任何建树。尽管如此，但他却是第一个提出四色猜测的人，时间是1852年。
关于赫渥特图能否4—着色的问题，一百多年来一直没有看到其4—着色的模式。到了1992年时，有我国的雷明，董德周，以及英国的米勒等，分别用不同的方法，均在赫渥特原着色的基础上，对该图进行了4—着色，后来又有我国的许寿椿等用自已编写的算法[1]（程序）对赫渥特图也进行了4—着色。这都说明了赫渥特图是可4—着色的，说明了赫渥特指出坎泊的证明有漏洞也是正确的，因为当时赫渥特与坎泊都没有对赫渥特的这个图能够4—着色，也没有证明具有赫渥特图特征的图（构形）是可4—着色（可约）的。赫渥特图虽只是一个个别的图，不能代表一般，其4—着色的成功，虽不能说四色猜测就是正确的，但无凝却增强了作者对四色猜测证明的信心和力量。

现在，四色问题早已由一个给地图的面（区域）上染色的地理学的问题，转变成了一个给图论中平面图的顶点着色的数学问题了。把地图中各相邻区域的中心城市（顶点）用曲线（边）经过两个区域的边界线连接起来，就构成了一个平面图（如图1—1）。给平面图顶点的着色也就相当于给地图的区域的染色问题。 同样也有任何平面图的色数都不大于4的猜测。这就是数学中的四色问题。

雷  明
二○一七年四月三十日于长安


（未完，接下贴）

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