[求助]前n个自然数倒数的幂和？

qingjiao

据我的印象，好像以下前n个自然数的倒数的幂和（幂为偶次）有已知公式，并且好像和伯努利数有关，即：
1^(2m)+(1/2)^2m+(1/3)^2m+(1/4)^2m+...(1/n)^2m=?
陆教授有这方面的资料吗？

qingjiao

另外，这里有一个前n项幂和的帖子。但里面的公式仍然太复杂，陆教授是否有简单一点的（注意：不是递推的）：

luyuanhong

下面引用由qingjiao在 2011/07/25 10:09pm 发表的内容：
据我的印象，好像以下前n个自然数的倒数的幂和（幂为偶次）有已知公式，并且好像和伯努利数有关，即：
1^(2m)+(1/2)^2m+(1/3)^2m+(1/4)^2m+...(1/n)^2m=?
陆教授有这方面的资料吗？

自然数倒数的偶数次幂的无穷级数（不是有限项和）的求和公式介绍如下：

luyuanhong

Bernoulli（伯努利）数的定义和计算方法介绍如下：

qingjiao

感谢陆教授的解答！
不过，我原意是求有限项的幂和，那么它和无限项的差是多少呢？
当然我们可以用笨办法，将无限项的值-（所有有限项的和），我的意思是，有没有一个公式表示这个差？不一定很精确，大O的也可以。
例如：1+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+...+(1/n)^2=π^2/6-f(n)，f(n)=?