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[求助]前n个自然数倒数的幂和?

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发表于 2011-7-25 22:09 | 显示全部楼层 |阅读模式

据我的印象,好像以下前n个自然数的倒数的幂和(幂为偶次)有已知公式,并且好像和伯努利数有关,即:
1^(2m)+(1/2)^2m+(1/3)^2m+(1/4)^2m+...(1/n)^2m=?
陆教授有这方面的资料吗?
 楼主| 发表于 2011-7-25 22:14 | 显示全部楼层

[求助]前n个自然数倒数的幂和?


另外,这里有一个前n项幂和的帖子。但里面的公式仍然太复杂,陆教授是否有简单一点的(注意:不是递推的):

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发表于 2011-7-26 08:57 | 显示全部楼层

[求助]前n个自然数倒数的幂和?

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-14 23:47 编辑
下面引用由qingjiao2011/07/25 10:09pm 发表的内容:
据我的印象,好像以下前n个自然数的倒数的幂和(幂为偶次)有已知公式,并且好像和伯努利数有关,即:
1^(2m)+(1/2)^2m+(1/3)^2m+(1/4)^2m+...(1/n)^2m=?
陆教授有这方面的资料吗?

自然数倒数的偶数次幂的无穷级数(不是有限项和)的求和公式介绍如下:





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发表于 2011-7-26 08:59 | 显示全部楼层

[求助]前n个自然数倒数的幂和?

本帖最后由 luyuanhong 于 2019-9-14 23:58 编辑

Bernoulli(伯努利)数的定义和计算方法介绍如下:

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 楼主| 发表于 2011-7-26 10:51 | 显示全部楼层

[求助]前n个自然数倒数的幂和?


感谢陆教授的解答!
不过,我原意是求有限项的幂和,那么它和无限项的差是多少呢?
当然我们可以用笨办法,将无限项的值-(所有有限项的和),我的意思是,有没有一个公式表示这个差?不一定很精确,大O的也可以。
例如:1+(1/2)^2+(1/3)^2+(1/4)^2+...+(1/n)^2=π^2/6-f(n),f(n)=?
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