已知多项式 f(x) 满足 f(x)=4x^3-33x^2/2+9x+∫(0,x)f(t)dt ，求 f(x)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

angel_phoenix99

由于多项式最高幂为三次，左右两侧同时求一至四阶导数，获得
f'(x)=12x^2-33x+9+f(x)(1)
f''(x)=24x-33+f'(x)(2)
f'''(x)=24+f''(x)(3)
f''''(x)=f'''(x)(4)

(4)的通解，f'''(x)=e^x
依次代入(3)(2)(1)
f''(x)=e^x-24
f'(x)=e^x-24x+9
f(x)=e^x-12x^2+9x

angel_phoenix99

f(x)不可能是纯多项式，否则右侧比左侧高一次幂

天元酱菜院

小绿的错误：那个积分不是常量（是关于X的一个函数）， 所以，小绿其中一步对C积分 不会得到cx。

可以通过等号两边求导，利用多项式的导数降阶性质来解此题：
两边求导： f ' (x) = 12x^2 -33x +9 +f(x)
有： f(x) - f ' (x)  = -12 x^2 +33x -9  .........(1)
因多项式的关于X的最高次幂不会出现在他的导函数中，
所以，（1）式中右边的最高次幂项必为f(x) 的 最高次幂项。

设f(x)= -12 x^2 + Ax +B
有f '(x) = - 24 x +A
代入（1）式，有 （-12 x^2 +Ax+B） - (-24x +A) = -12 x^2 +33x -9
比较各系数，有 A+24=33 , B - A = - 9
所以，A=9, B=0
所以,f(x)= - 12 x^2 +9x

代入题目验算无误。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。