已知 xyz=1 ，x+y+z=2 ，x^2+y^2+z^2=3 ，求 1/(xy+z-1)+1/(yz+x-1)+1/(zx+y-1) 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

1） 由 x+y+z=2
     xy+z-1=xy+2-x-y-1=(x-1)(y-1)
同样，有
     yz+x-1 =(y-1)(z-1)
     zx+y-1 =(z-1)(x-1)
2)  1/(xy+z-1) +1/(yz+x-1) + 1/(zx+y-1)
   = [(x-1)+(y-1)+(z-1)]/[(x-1)(y-1)(z-1)]
   = - 1/[(x-1)(y-1)(z-1)]    .......................(A)
3)  (x-1)(y-1)(z-1)=xyz - xy - yz - zx +x+y+z -1 =2 -xy-yz-zx ......(B)
4) (x+y+z)^2=4= x^2+y^2+z^2+ 2xy+2yz+zzx = 3 +2(xy+yz+zx)
    于是，xy+yz+zx=0.5
5) 代入(B)式， (x-1)(y-1)(z-1)=1.5
    代入(A)式， 所求为-2/3



     

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。