“可数”集元素的重排与康托对[0,1]“不可数的证明”

zhaolu48

“区间套的证明正是由假设推出矛盾的结果,怎么说是离开了假设呢?这个证明从头到尾都围绕着假设:[0,1]可数,并列为{a1,a2,...an...}.”
　　“离开了[0,1]={a1,a2,...an...}.”的假设，当然证明把“假设”改为“令”
“区间套定理是一条定理啊,在数学分析中已经被证明过的了,其根据是数列的极限.”
　　区间套定理是没错，但在数学分析中没有区间套定理证明有关“可数集”的问题的任何例子。也没有类似可用于“可数集”的定理。
“但是[xi,yi]肯定不包含{a1,a2,...ai},每向后取一个区间,就排除一个ai.”
已经假设了[0,1]={a1,a2,...an...}，而[xi,yi]是[0,1]的子集，那为什么[xi,yi]就不是{a1,a2,...an...}的子集了呢，这不就是离开了
[0,1]={a1,a2,...an...}
的假设了吗？
　　集合中的元素的无序性，是其属性之一。
　　例如{1,2,3,4}={2,4,1,3}
　　那么自然数集
　　也可写作
　　A={2,4,6,…,1,3,5,…}
　　如果令a1=2,a2=4,a3=6,…,an=2n,…，那么
　　A={a1,a2,a3,…,an,…}
　　我们只能说A是偶数集。
对于
　　A={2,4,6,…,1,3,5,…}
这种形式存在吗？按集合元素的无序性，是存在的。
但这个按顺序写，偶数永远也写不完，那么“永远”也不会有“1”出现在A中。
如果按如下的方法写：
先写{2,1}，再在“1”前面插入4,后面写3，即为{2,4,1,3},接下去为
{2,4,6,1,3,5}
…… …… ……
{2,4,6,…,2n,1,3,5,…,2n-1}
无限的写下去便是
{2,4,6,…,1,3,5,…}=A
A等于自然数集N吗？只能说事实上等于，在形式上不等于。这个矛盾自身就说明了康托的理论是自相矛盾的。
再回到前面的话题：
前面的2,4,6,…，相当于a1,a2,a3,…
后面的1,3,5,…，相当于x1,x2,x3,…
对应于1,3,5,…的点列x1,x2,x3,…以b为极限点
对应于2,4,6,…的点列a1,a2,a3,…,b不是它的极限点。
这就是说前面的a1,a2,a3,…把b排除在外，但他不能保证排在后面的点列x1,x2,x3,…以b为极限点。
对于A={2,4,6,…,1,3,5,…}，对前面的规律得到的A是偶数集，任何一个奇数都不属于A，这与b不属于{a1,a2,a3,…}的道理是一样的。

kenck

"区间套定理是没错，但在数学分析中没有区间套定理证明有关“可数集”的问题的任何例子。也没有类似可用于“可数集”的定理。"
这是区间套定理的应用,只要条件成立,就可以得出相应的结论.
"[xi,yi]就不是{a1,a2,...an...}的子集了呢?"
由假设,[xi,yi]是{a1,a2,...an...}的子集,但通过[xi,yi]的选择方法,我们得知在[xi,yi]中有一点b不属于{a1,a2,...an...},但这一点又在[0,1]内,这就是矛盾所在,从假设中找出矛盾,这是反证法的思路.
"2,4,6,…,1,3,5,…}=A
A等于自然数集N吗？只能说事实上等于，在形式上不等于。这个矛盾自身就说明了康托的理论是自相矛盾的。"
请问什么是"形式上不等于"?我理解为这是同一集合的不同表达方式A={2n,2n+1|n=1,2,3,......}
再往下我就读不懂了,因为好象远离了区间套的思路,我想用具体一点的数据说明一下这个思路:
首先是点列x1,x2,x3...的极限问题:因为经x1,x2,x3.....是一系列区间的端点,是单调有界的,所以必有极限.同理y1,y2,....也一样有极限.根据区间套定理,这个极限趋近于b,注意,是趋近,不是等于.
假设[0,1]={0.1,0.3,0.5...,0.2,0.4...}
先取[x1,y1]=[1/3,2/3],把0.1排除出去,
将[x1,y1]三等分,从中选取择[x2,y2],由于[x1,y1]已经不包含0.3这一点,所以我可以任取其中一个区间作为[x2,y2],不妨取[x2,y2]=[1/3,4/9],[x2,y2]是不是既不包含0.1也不包含0.3?
再将[x2,y2]三等分,我们看到[x2,y2]不包含0.5,所以任取其中一个作为[x3,y3],不妨设[x3,y3]=[1/3,10/27],[x3,y3]不包含0.1,0.3,0.5。
.......
一直取下去，我们不需要关心数列{an}的排列顺序，肯定可以取到第n个区间，这个区间肯定不包含数列{an}的前n个项。
当然，事实上我们不可能无穷地取下去，因为我们的生命是有限的。根据区间套定理，这组区间套肯定趋近于一点b,即b是这组区间套的交集（是唯一的一点）。
“对应于2,4,6,…的点列a1,a2,a3,…,b不是它的极限点。”
b的确不是它的极限点，但这和证明有什么关系？我还没读懂。
“对于A={2,4,6,…,1,3,5,…}，对前面的规律得到的A是偶数集，任何一个奇数都不属于A，这与b不属于{a1,a2,a3,…}的道理是一样的。”
我想我有点知道你的思路，但这和上述的利用区间套的证明是两条思路。我度着探计一个你的思路，不要介意我在这里胡说，说得不好请狠狠批评：
有一个集合A={2,4,6,…,1,3,5,…}，现有一个数b=1，求证b是否属于A。
证明：用枚举法，逐个对比，看b是否等于an(n=1,2,3...),由于偶数排在前面，偶数有无穷多个，所以经过无穷多次对比后，b都不等于an，所以b不属于A。
我也在思考，无穷多次对经与全部对比的关系：要全部对比肯定需要无穷多次对比，但经过无穷多次对比后，是否就是全部的对比。但就上述的例题来说，我更偏向于虽然经过无穷多次对比，但这个无穷多次对比还没有遍历全部集合的全部元素，所以不能得出b不属于A的结论。
题外话：赵老师，你提出的例子和区间套方法有相似的地方，要说清楚其中的联系是一个大课题，我很受启发，我有时间的话想先查查集合论的专著，如果以前没人提出过，那就可以出一篇很有价值的论文啦。
在这里受到教育了，虽然我们的观点不同，但还是要说声谢谢。

zhaolu48

kenck先生
提几个问题。
假设了[0,1]={a1,a2,a3,…}
记{a1,a2,a3,…}=A
a1不属于[x1,y1],那么在A中存在不存在属于[x1,y1]的元素？
　　x1,y1是否属于A？
　　我认为都可以作肯定的回答。
推论下去，在A中存在不存在属于[xn,yn]的元素？
an不属于A，xn,yn是否属于A？
是否有lim(n→∞)xn=b?
是否有lim(n→∞)xn=b?
那么可不可以得到b属于A?
即b∈A
我认为这些都可以作肯定的回答。
康托以及后来的研究者，具体证明一个集合是可数的，都是给出对应关系，即能够给集合的元素不重不漏的编出号，总而言之，就是按一定规律把集合的元素排列起来，证明出或可以直接看出，这个集合的元素可以不重不漏地出现在排列里。
即使是可列集，不按一定规律排列元素，很难说明它还是原来的集合。
比如
{3,5,7,1,8,…}你能说它是自然数集吗？
但
{3,2,1,6,5,4,9,8,7,…}显然可以说它仍是自然数集。
比如以下面的“分数”数列的所有“分数”的集合
0,1,
1/3,2/3,
1/3^2,2/3^2,4/3^2,5/3^2,7/3^2,8/3^2,
1/3^3,2/3^3,4/3^3,5/3^3,7/3^3,8/3^3,…,25/3^3,26/3^3
……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……
1/3^n,2/3^n,4/3^n,5/3^n,7/3^n,8/3^n,……,(3^n-2)/3^n,(3^n-1)/3^n
……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……  ……
规律是每后一排的分数的分母是前一排的3倍，从而分数的个数也是前一排的3倍，而分子是从小到大，由不是3的倍数的数组成。如1,2,4,5,7,8,10,11,…
前n排的分数个数是(0,1除外)
2+6+18+…+2*3^(n-1)=3^n-1
实质上是(0,1)上位数不超过n位的3进制小数的个数。
对于这个数列，原证明方法就失灵了。
同时也说明了(0,1)上的小数“全体”是可数的。

kenck

"是否有lim(n→∞)xn=b?"
"是否有lim(n→∞)yn=b?"
我认为关键就在这里,xn,yn 都趋近于点b,从题设早已断定b属于[0,1]中的实数.但这两个数列不是任意选定的,而是根据数列an的排列选择的:
[x1,y1]不包含a1,对吗?
[x2,y2]不包含a1,a2,对吗?
[x3,y3]不包含a1,a2,a3对吗?
........
[xn,yn]不包含a1,a2,a3....an对吗?
每个an对应一个区间[xn,yn],由于{an}无穷,区间套[xn,yn]也就无穷,但当n趋于无穷时,这组区间套有一个交点,唯一的一个,b,你能说b与{an}的哪一个元素相等吗?根据区间的取法,b不与{an}的任何一个元素相等.那么我能说b属于{an}吗?
正因为b属于[0,1],所以才有矛盾啊.反正法就是要推出相反的结果才是反正法啊!
所以赵老师你不用追问b是否属于[0,1],重点在从区间套能否推出b不属于[0,1]的证明.
顺便说一下:假设xn属于A,且lim(n→∞)xn=b,不能得出b属于A的结论.这是泛函分析有关完备性的概念.不过,泛函是建立在实数不可数理论上的,如果赵老师认为实数可数,大可不必理会.
赵老师列的这个分数列表很有意思,都是三等分[0,1]边界上的点,我试着就前面几个数列举一下所选择的几个区间:
0:可选[1/3,2/3][2/3,1]的任意一个,不妨选[1/3,2/3]为[x1,y1]
1:可选[1/3,4/9],[4/9,5/9],[5/9,2/3]中的任意一个,因为1不在上述区间的任何一个中.不妨取[1/3,4/9]为[x2,y2]
1/3:将[x2,y2]三等分:[1/3,10/27],[10/27,11/27],[11/27,4/9],因为1/3落在第一个区间,所以在后面两个区间任取其一为[x3,y3]
.....(不好意思,不再往下写了,对不起,我特别懒!)
就这样分啊,选啊,你分数的集合无穷,我的区间套也无穷,通过区间套定理,我知道有一个点不属于你的分数的集合.

wangyangkee

俞根强，新道学夭折了，也许是天意；俞根强，节哀顺变吧，，，可，闹蠢货，，，，好好闹哟，，，，