【趣题征解】x,y 是正整数，有 (x-1)^3+x^3+(x+1)^3＝y^3 ，证明 x 是 4 的倍数

luyuanhong

【趣题征解】设 x,y 是正整数，有 (x-1)^3+x^3+(x+1)^3＝y^3 ，证明 x 是 4 的倍数。
例如，当 x＝4 ，y＝6 时，有 3^3+4^3+5^3＝6^3 ，x＝4 是 4 的倍数。

luyuanhong

【趣题征解】设 x,y 是正整数，有 (x-1)^3+x^3+(x+1)^3＝y^3 ，证明 x 是 4 的倍数。
例如，当 x＝4 ，y＝6 时，有 3^3+4^3+5^3＝6^3 ，x＝4 是 4 的倍数。

【证】 (x-1)^3+x^3+(x+1)^3＝3x^3+6x＝３x(x^2+2)＝y^3 ，可见 y＝3z（z 是正整数），
这时 ３x(x^2+2)＝y^3＝27z^3 ，x(x^2+2)＝9z^3 。
     x 与 x^2+2 显然不可能有大于 2 的公约数。
    如果 x 与 x^2+2 的最大公约数是 1 ，即 x 与 x^2+2 互素，则必有下列两种情况：

（1）x＝9u^3 ，x^2+2＝v^3 （u,v 是正整数）。

这时 v^3＝(9u^3)^2+2＝81u^6+2 ，但这是不可能的，因为任何立方数除以 9 的余数只能
是 0,1,-1 ，不可能是 2 。

（2）x＝u^3 ，x^2+2＝9v^3 （u,v 是正整数）。

这时 9v^3＝(u^3)^2+2＝(u^2)^3+2 ，即 (u^2)^3＝9v^3-2 ，但这也是不可能的，因为任
何立方数除以 9 的余数只能是 0,1,-1 ，不可能是 -2 。
    如果 x 与 x^2+2 的最大公约数是 2 ，从 x(x^2+2)＝9z^3 可知 z＝2k（z 是正整数），
这时 x(x^2+2)＝9z^3＝9×8k^3 是 8 的倍数，由于 x^2+2 只能是 2 的倍数，不可能是 4
的倍数，所以 x 一定是 4 的倍数。