【趣题征解】证明：n＝(8k+7)4^m（k,m 为非负整数）不能表示为三个平方数之和

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/08/17 00:14pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】证明：n＝(8k+7)4^m（k,m 为非负整数）不能表示为三个平方数之和。
例如，当 k＝0 ，m＝0 时，n＝(8×0+7)4^0＝7 ，7 不能表示为三个平方数之和。
      当 k＝1 ，m＝0 时，n＝(8×1+7)4^0＝15 ，15 不能表示为三个平方数之和。      
      当 k＝0 ，m＝1 时，n＝(8×0+7)4^1＝28 ，28 不能表示为三个平方数之和。

wangyangkee

LLZ2008

7=(√2)^2+(√2)^2+(√3)^2[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 LLZ2008 在 时添加 -=-=-=-=-
【趣题征解】证明：n＝(8k+7)4^m（k,m 为非负整数）不能表示为三个平方数之和。

luyuanhong

楼上 wangyangkee 的证明基本正确。

【趣题征解】证明：n＝(8k+7)4^m（k,m 为非负整数）不能表示为三个平方数之和。
例如，当 k＝0 ，m＝0 时，n＝(8×0+7)4^0＝7 ，7 不能表示为三个平方数之和。
      当 k＝1 ，m＝0 时，n＝(8×1+7)4^0＝15 ，15 不能表示为三个平方数之和。      
      当 k＝0 ，m＝1 时，n＝(8×0+7)4^1＝28 ，28 不能表示为三个平方数之和。

【证】先证明 n＝8k+7 不能表示为 a^2+b^2+c^2（a,b,c 为整数）形式。
    因为 n＝8k+7 是奇数，所以，a,b,c 或者都是奇数，或者是一奇数两偶数。
因为奇数平方必定是 8 的倍数加 1 ，三个奇数平方和必定是 8k+3 形式，不可能是 8k+7 。
又因为偶数平方必定是 4 的倍数，一奇数两偶数平方之和，只能是 8k+1 或 8k+5 形式，也
不可能是 8k+7 。可见，任何一种情况，三个平方数之和都不可能是 n＝8k+7 。
    下面用数学归纳法证明：n＝(8k+7)4^m 不能表示为 a^2+b^2+c^2（a,b,c 为整数）形式。
（1）当 m＝0 时，n＝8k+7 ，上面已经证明它不能表示为 a^2+b^2+c^2 形式。
（2）设已知对某个非负整数 m ，命题成立，(8k+7)4^m 不能表示为 a^2+b^2+c^2 形式。
    下面看 m+1 时的情形：
    假设有 (8k+7)4^(m+1)＝a^2+b^2+c^2 ，显然它是 4 的倍数。这时 a,b,c 不可能都是
奇数，也不可能是一奇数两偶数，也不可能是两奇数一偶数（因为两奇数一偶数的平方和是
4k+2 形式，不是 4 的倍数），只可能三个都是偶数。
   设 a＝2a';，b＝2b';，c＝2c';（a';,b';,c'; 为整数），则有
        (8k+7)4^(m+1)＝(2a';)^2+(2b';)^2+(2c';)^2＝4(a';)^2+4(b';)^2+4(c';)^2 ，
等式两边同时约去 4 ，有
        (8k+7)4^m＝(a';)^2+(b';)^2+(c';)^2 。
与已知 (8k+7)4^m 不能表示为 a^2+b^2+c^2 形式发生矛盾，所以假设不成立，当 m+1 时
(8k+7)4^(m+1) 也不能表示为 a^2+b^2+c^2 形式。
（3）所以，对任何非负整数 m ，(8k+7)4^m 都不能表示为 a^2+b^2+c^2 形式。