【趣题征解】求出所有小于 10 的正整数 n ，使得 2011^n+n^2011 能被 5 整除。

luyuanhong

【趣题征解】求出所有小于 10 的正整数 n ，使得 2011^n+n^2011 能被 5 整除。

LLZ2008

下面引用由luyuanhong在 2011/08/22 09:33am 发表的内容：
【趣题征解】求出所有小于 10 的正整数 n ，使得 2011^n+n^2011 能被 5 整除。

n=3,4   5,9

moranhuishou

因为
2011^n=1(mod 5) ,n=1,2,3,...
所以只要能满足条件
n^2011=4（mod 5）
即可。
数字很小，验证可得。

moranhuishou

验证为 4，9

LLZ2008

[这个贴子最后由LLZ2008在 2011/08/22 10:55am 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2011/08/22 10:39am 发表的内容：
验证为 4，9

您说得对，我算错了。n=4   9
2011^n=1(mod 5) ,n=1,2,3,4,5中4合符，以后的n=5k+4  (k为自然数)都符合。
4^2011=4^(4*502)*4^3

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2011/08/22 10:39am 发表的内容：
验证为 4，9

答案正确，下面是详细解答过程：

【趣题征解】求出所有小于 10 的正整数 n ，使得 2011^n+n^2011 能被 5 整除。

【解】因为 2011≡1(mod 5) ，所以 2011^n≡1^n≡1(mod 5) 。
    因为 5 是素数，所以由 Fermat 小定理可知，n^4≡1(mod 5) ，所以
    n^2008≡n^(4×502)≡(n^4)^502≡1^502≡1(mod 5) 。
    n^2011≡n^(2008+3)≡n^2008×n^3≡1×n^3≡n^3(mod 5)。
    2011^n+n^2011≡1+n^3(mod 5) 。
    可见，2011^n+n^2011 能被 5 整除，等价于 1+n^3 能被 5 整除 。
    经过验算，在小于 10 的正整数中，只有下列两种情况满足要求：
    n＝4 时，1+n^3＝1+4^3＝1+64＝65 能被 5 整除；
    n＝9 时，1+n^3＝1+9^3＝1+729＝730 能被 5 整除。

w632158

陆教授，你现在在研究数论呀，不错，数论是一种很动脑筋的数学训练，你的答案非常正确。数论题目简单，思考复杂，方法巧妙。一个人可以在别的数学专业很精通，但他不敢说他的数论很精通，因为一个很小的题目就可以让他思考一天而没有任何收获。