x^2+2ax+b^2=0, x^2+2bx+c^2=0 皆有相异实根。问 x^2+2cx+a^2=0 的实根个数

elim

设 a,b,c 为实数，
x^2+2ax+b^2=0, x^2+2bx+c^2=0 皆有相异实根。问 x^2+2cx+a^2=0 的实根个数。

王守恩

1，由 x^2+2ax+b^2=0有相异实根
可知(2a)^2-4b^2＞0   即a＞b   (1)
2，由 x^2+2bx+c^2=0 有相异实根
可知(2b)^2-4c^2＞0   即b＞c   (2)
3，问 x^2+2cx+a^2=0 的实根个数
由(1),(2) 可知c＜a  即(2c)^2-4a^2＜0
答: x^2+2cx+a^2=0的实根个数为0个。

elim

谢谢楼上王守恩解答．从 a^2 >b^2>c^2 推出
x^2 + 2cx + a^2 = (x+c)^2 + (a^2 - c^2) > 0
即所论方程无实根．

luyuanhong

楼上 elim 的帖子和 王守恩 的解答都很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

王守恩 发表于 2017-9-8 11:45
1，由 x^2+2ax+b^2=0有相异实根
可知(2a)^2-4b^2＞0   即a＞b   (1)
2，由 x^2+2bx+c^2=0 有相异实根

微有瑕疵。 可改为：
1） 由x^2+2ax+b^2 有相异实根，可知（2a）^2 - 4 b^2 >0, 即 a^2  > b^2
2)  由x^2+2bx+c^2 有相异实根， 可知（2b）^2 - 4 c^2 >0, 即 b^2  >c^2
3)  由  1）和 2） 可知 c^2 < a^2 , 即有 （2c）^2 - 4a^2 <0 ........(以下出结论）

这里a,b,c 均可能为负，所以规避 a>b之类的中间结论为好
   

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 补充纠正 王守恩 解答的帖子很好！

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。