【趣题征解】若 p 是奇素数，x^(p-1)+y^(p-1)＝z^(p-1) 有整数解，证明 p|x 或 p|y

luyuanhong

【趣题征解】若 p 是奇素数，x^(p-1)+y^(p-1)＝z^(p-1) 有整数解，证明 p|x 或 p|y 。
    例如，当 p＝3 时，x^2+y^2=z^2 有整数解，这时 x,y 中至少有一个是 3 的倍数。

simpley

根据费马小定理,如果x,y都不能被P整除,
x^(p-1)+y^(p-1)≡2(mod p)≠1(mod p)≡z^(p-1)
与条件矛盾,所以p|x 或 p|y [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在 时添加 -=-=-=-=-
还应该加上0(mod p)≡z^(p-1)

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/08/29 11:56am 第 1 次编辑]

证
  由中华簇知：
    （√Xˆn）ˆ2+（√Yˆn）ˆ2=（√Zˆn）ˆ2
  即
     Xˆn+Yˆn=Zˆn,   n=0,1,2,3,,,
   当仅当 n≤2时才有正整数解（证明略）
   因此 P-1≤2
        P≤3,
   1.当 P=1时，
        P-1=1-1=0.
        不再题意内，不予讨论。
  2.当 P=2时
       P-1=2-1=1
    得： 不定方程
    （1） X+Y=Z
     当 X=2n,Y=2m时
   显然符合题意。
  3.当 P=3时
       P-1=3-1=2的 勾股方程
    （2）  X²+Y²=Z²
  因此至少有一例（3，4，5）符合题意！
     证毕。

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/08/29 03:45pm 第 1 次编辑]

下面引用由simpley在 2011/08/29 11:53am 发表的内容：
根据费马小定理,如果x,y都不能被P整除,
x^(p-1)+y^(p-1)≡2(mod p)≠1(mod p)≡z^(p-1)
与条件矛盾,所以p|x 或 p|y -=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在  时添加 -=-=-=-=-
还应该加上0(mod p)≡z^(p-1)

       5ˆ4+Yˆ4=Zˆ4 ??????????????????????
     有整数解吗？

luyuanhong

下面引用由simpley在 2011/08/29 11:53am 发表的内容：
根据费马小定理,如果x,y都不能被P整除,
x^(p-1)+y^(p-1)≡2(mod p)≠1(mod p)≡z^(p-1)
与条件矛盾,所以p|x 或 p|y -=-=-=-=- 以下内容由 simpley 在  时添加 -=-=-=-=-
还应该加上0(mod p)≡z^(p-1)

第 2 楼 simpley 的证明正确，但说得太简略了。详细证明如下：

【趣题征解】若 p 是奇素数，x^(p-1)+y^(p-1)＝z^(p-1) 有整数解，证明 p|x 或 p|y 。

【证】用反证法。
    假设 x,y 都不是素数 p 的倍数，有 (x,p)=1 ，(y,p)=1 ，由 Fermat 小定理可知，
必有 x^(p-1)≡1(mod p) ，y^(p-1)≡1(mod p) ，所以有
    z^(p-1)＝x^(p-1)+y^(p-1)≡1＋１≡２(mod p) 。
    但是，如果 z 是 p 的倍数，则有 z^(p-1)≡0(mod p) ；如果 z 不是 p 的倍数，
(z,p)=1 ，则由 Fermat 小定理可知，有 z^(p-1)≡1(mod p) 。
    总之，不可能有 z^(p-1)≡2(mod p) ，这样就产生了矛盾，所以假设不成立，x,y
中至少有一个是 p 的倍数。

任在深

[这个贴子最后由任在深在 2011/08/29 00:38pm 第 2 次编辑]

实际楼主的主题就是著名的以下猜想的翻版！
若a b c x y z都是整数，那么不定方程
     aˆx+bˆy=cˆz,有整数解，则 x=y=z=2.
   此猜想不用《中华单位论》的理论证明，用现在的西方的拼凑数学是无法证明的！
   因为当n→∞时人们根本无法确定上确界！
        有的数学家只能证明到 n=1,2,n≥3之后就进行不下去了！
   你是怎么证明的？
   知道不？有正整数解意味着什么样的条件吗？
   是费马小定理能够证明的吗？

任在深

哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈哈!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!?
   继续糊弄下去吧！

任在深

下面引用由luyuanhong在 2011/08/29 00:10pm 发表的内容：
第 2 楼 simpley 的证明正确，但说得太简略了。详细证明如下：
【趣题征解】若 p 是奇素数，x^(p-1)+y^(p-1)＝z^(p-1) 有整数解，证明 p|x 或 p|y 。
【证】用反证法。
    假设 x,y 都不是素数 p 的倍数，有 (x ...

     已知条件 若 p 是奇素数，x^(p-1)+y^(p-1)＝z^(p-1) 有整数解，证明 p|x 或 p|y
                                                      * * * *
   您用上了吗？？？？？？？？？？？？？？？？？
   要注意了！！！！！！！！！！！！！！！！！！

任在深

如果楼主的证明正确！
那么关于
  （1）aˆx+bˆy=cˆz,有整数解，则 x=y=z=2.的猜想早就得到证明了？
   为什么至今没有任何人，任何数学机构表明该猜想已经得到证明？！
            不要再自欺欺人了！