[转发]敢峰的文章：五星图上“四色仙子”舞 ——三证四色定理兼论四色王国（一）

雷明85639720

五星图上“四色仙子”舞
——三证四色定理兼论四色王国
（一）
（2017年8月5日）
敢  峰
关键词：证明原理 最强证明 自由王国 反制战略 五星构形 核心枢纽 逻辑链条（证明公式）
内容摘要：四色定理的证明原理是，四色定理成立取决于它的客观存在。任何阻挠四色定理成立的二色交叉环，都可以在具有“不可免”构形的终极图中通过可控调节被破解。而最强的证明，则要使这种证明能将四色问题从自在的必然王国，成为可以高度认知的自为的自由王国。
    从1992年我做出第一个四色定理证明算起，至今做出了三个证明。第一个是1992年用演绎筛法“追穷寇到天涯”的极其艰难的一个证明。第二个是今年四月我通过直接构图做出的一个极端性的简单证明，虽具有强势的“一锤定音”功能，毕竟未能展示四色王国深广的内涵。现在做的第三个证明，主要是在第一个证明的基础上，试图作出一个最强证明，全面揭示四色问题怎样从自在的必然王国成为自由王国。也可以说，是《一证》和《二证》的升级版。
五星图在四色定理证明中，兼具“不可免集”和“终极图”双重性质。在我的第一个证明中，它是全部由四色不可解线路（环绕五轮图的5对交叉二色环）在反求思路和演绎筛法中必然形成的。在五星图中证明了四色定理，则全面昭示了四色定理的必然成立。
五星图上“四色仙子舞”所展现的是四色定理全方位证明过程中的真实盛况。成图过程中的四色不可证明，不可免地全部转变为四色可解。全部60步舞姿（其中包括了《一证》中的20步），每步舞姿伴随着一个相应的证明歌词，像孔雀全方位开屏，彰显四色定理之美，风光无限。它揭示的是四色定理成立的原理，所有阻碍四色定理不成立的交叉二色环，最终全部不可避免的通过可控调节被一一破解，使百余年困扰数学界的难题如同冰河消融，过往舟楫畅通无阻。
“跳出庐山看庐山”，是对五星图上四色仙子舞深层的理性分析和论证。它揭示了四色自由王国的体制、机能、基本证明方法（即“染色程序”）和核心枢纽。使人们全面、深入和具体了解四色问题是怎样从必然王国成为自由王国的。
文中最后还简论了整个证明的逻辑链条：“海岛理论”——反求思路——演绎筛法——终极构图——可控调节——全方位证明。从逻辑起点到终点，环环相扣，确认了证明自身的逻辑严密性与合理性。它展示的实际上就是四色定理的证明公式。用汉语拼音的首个字母表示，即：
4cc=h+f+y+z+k+q
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我对四色问题的证明如果不算1985年的证明，至今先后做出了三个证明。第一个证明是1992年的《证明四色定理的新数学——图论中的锁阵运筹》，提出了四色证明的7条基本定理和反求思路，经过全方位周而复始的20步大演绎得到了四色不可解线路集合的终极图及其复式图（多次交叉图），第一次对四色问题成功地做出了肯定性的证明（2009年又缩写为《四色定理简证——锁阵运筹理论及其运用》）。
第二个证明，是事过20年后，雷明于2016年8月在中国博士网连发五文，对我的第一个证明进行了肯定，四色月亮再次升上心头。遂于2017年4月在中国博士网上发表了《海岛理论与四色问题——直接构图再证四色定理兼论拓扑思维》。但仍意犹未尽，因为从这个证明本身而论，比较简略，只是通过直接构图，以极端的“一锤定音”从反面证明了四色定理的必然成立，与1992的证明形成了姊妹篇。而对四色问题是怎样从自在的必然王国走向自为的自由王国，付诸阙然。从四色定理证明原理的高度上来说，尚非最强证明。
四色定理证明的原理是：四色定理成立取决于它的客观存在。任何阻挠四色定理成立的二色交叉环，都可以在具有“不可免”构形的终极图中通过可控调节被破解。而最强的证明，不但要得到证明，而且要使它从自在的必然王国臻于可以高度认知的自为的自由王国之域。
这就是我紧追不舍，要最终再做出一个证明——第三个证明的主要缘由。

一、        直接构建五星图，简证四色定理：四色证明的基本模型。

五星图的网络结构是以已知的“五轮形海岛”为五星构图的中心，与其外的两个五轮的圈共同形成三个圈。中圈的五个顶点为五星的角。三个五轮圈之间均按形成五星（包括外五星）的线路相连。3×5=15，再加上待填色区V和图外的隐区W，共17个结点（见图1）。
这个网络模型和实证图（四色不可解线集合的终极图）是1992年我在《证明四色定理的新数学——图论中的锁阵运筹》中确立的（见该书图47、48和图38）。同时期英国数学家米勒（Miller）等人的米勒图，用的同样也是这个网络模型，但因非反求思路成图和求证，在“颠倒”4次后看到出现了循环现象便认为不可证放弃了（见1992年牛津大学《数学季刊》第二期发表的《理应已知的赫伍德范例》）。我是为了寻求四色不可解线路集合的终极图，运用演绎筛法（每一步都筛去四色可解线路，连接不可解线路）经过艰难而严格的20步（次）演绎最后得到的。再连续演绎就出现了全图全方位的大循环，从而验证和确定了这个构形的不可避免和终极性质。然后才开始在图中启动了正面证明程序，得到了四色定理成立的第一个正确证明。

既然上述的五星图已被确定其不可避免和终极的双重性质。那么，是否可以在这个网络中直接构图和证明四色定理呢？
可以的，现在我们就用同样的思路直接构建一个完全同样的图。图的背景网络直接用未填色的三圈五星图网络。
第一步，将四色不可解线路发生图（即5轮图的A—C环和A—D环交叉图）直接嵌入五星图线路网络，并同时使支撑A—C与A—D两环交叉的隐线B—C和B—D成为显线（见图2）。
第二步，显然，图的二圈下端与A—C—D—A直接相邻的顶点，只能填B色，故先填入。在成图和证明过程中，这是关键结点（见图3）。

第三步，显然，图的外圈左下侧，与C—A—B直接相连的顶点，只能填D色（见图3）。
第四步，显然，图外圈的右下侧，与D—A—B—D直接相连的顶点，只能填C色（见图3）。
这时，五星网络本身的填色构图线路已经全部完成。外圈为ADCDC 5点3色。于是：
第五步，图外四色海洋中必然有一个填B色的隐点w，可以用二色隐线与图外圈的ADCDC 5点3色顶点相连（见图3）。
至此， 四色不可解线路集合终极图的构建，己经全部结束。（见图3）
它同《一证》中的四色不可解线路集合（二阶图N）完全一样，再次证实了五星构形是证明四色定理的基本模型。
至此，四色定理的证明在现在看来就成为一件容易的事了。如同在1992 年的证明那样：在图中所必然形成的A—B环内经过C与D二色互换，解开了A—C与A—D二环的交叉问题形成肯泊（kempe）早已证明过的K构形,可以将B色填入5轮图中的待填色区V（见图4，图中括号中的颜色是换色后的颜色）。
演绎构图和直接构图在四色证明中都获得了成功，再一次无可辩驳地说明和证明了：五星网络构形正是证明四色定理中人们苦苦寻找的“不可免集”。   
谈及我对四色定理的证明，有一个根本性问题必须阐明，即：我为什么不厌其烦地要谈坚持反求思路，跨越“四色陷阱”，走出构图迷宫，用演绎筛法寻求四色不可解线路集合的终极图（即五星图），而对直接的正面构图证明始终持怀疑态度？因为它是无限的，要证明必须“全票通过”。在向外扩展的直线型中所作出的正面证明，只能是相对性的有限证明（即跌入“四色陷阱”），跳不出“如来佛的手心”。在构图的所有线路上，每选择一条正面证明的线路，不可免地同时存在另一条不让你证明的线路（就像树枝不断分叉一样），从而在构图上可证与不可证形成了无终止的直线型博弈模式。而博弈对方对正面证明的否定，却可以挟“一票否决”之威，对你费尽心机作出的哪怕是成千上万的正面证明可以完全不予理睬，让你劳师无功，也用不着它拿出四色定理不成立的证明（实际上也拿不出来）。这是一个完全不对等的博弈，我们为什么不跳出这个“圈套”进行反制呢？这种反制就是反求思路和演绎筛法，用“水落石出”的策略把对方从直线博弈中逼入环形博弈，使四色妖魔无藏身之地。
从图论的理论上说，在线形运动中，无限有两种表现形式：一种是直线型的（包括非封闭曲线），一种是环型的。直线型的终点和全过程永远不可及。环型的过程和终点是可及的，就在环形线周而复始的无限循环中。我们为什么不想办法在四色证明中把无限的不可及的直线型证明转换为可及的可以认知和证明的环型终极证明呢？鉴于四色证明的初始图本身就是环形的5轮图，而四色不可解线路发生图只是在5轮沿的一个顶点上出现了双环交叉，其他都是未知的，作出正面的终极证明非常困难。如果使全部5个顶点上都出现四色不可解双环交叉呢？整个博弈的局面就从根本上扭转了。于是我们就可以不断通过四色不可解线路环绕5轮图循序转移，迫使它作出环型的周而复始的循环运动。这样，终极图就形成了，直线型的无控的无限证明，就变成环型的可控的有限证明了。
在同四色妖魔的博弈中，坚持反制战略和“水落石出”的策略，是证明四色定理的不二法宝。否则，你在这个图中证明了四色定理，它又会从另一个图中冒出来，捉不尽啊！
“此中有真意，欲辨已忘言”（陶潜诗句）。语不尽意，供诸位深思。这就是同四色妖魔的博弈和转换、应对的谋略啊！这就是我把拓扑思维看的高于四色证明本身，在《二证》中最后要压轴论述的缘由啊！这就是我希望不是四色研究者也能象游香山那样，“不爬鬼见愁，也可观红叶”啊！对四色问题研究者来说，光依靠图论知识，缺乏拓扑思维，是很难跨越“四色陷阱”和走出“构图迷宫”的。
话说远了，下面我们还是回到实际的四色证明中来，看看四色妖魔变成四色仙子后，在五星图中是怎样现身说法的。


二、五星图上四色仙子舞

    四色猜想在未得到证明之前，往往被视为妖魔，但被得到证明之后却变成了四色仙子。这也是一个从自在的必然王国向自为的自由王国的转变。举凡宇宙间诸多事物，在未知之前与已知之后，大概都是这样。
现在我们就来观赏和分析四色仙子之舞，看看她是怎样举重若轻，全方位全面系统地证明四色定理。
舞，首先要有个舞台。四色仙子的舞台是建立在无限大、无限复杂和变化无穷的平面区域上。经过《一证》研究发现，这个舞台就是将已知的5轮形海岛与渺无际涯的未知四色海洋连为一个整体的五星构形。  把它拓扑到纸上，所表示的是从最小的17个区域到充分大的无数个区域。在这个舞台上四色仙子跳的是什么舞呢？是四色不可解交叉环传递舞（象“击鼓传花”那样，不管传到谁手里，随时都可以停下来直接进入证明程序）。唱的是两个交叉环的四色可证歌。整个舞曲的节奏感很强，一步一个证明。
四色仙子舞有四环舞与三环舞两种，可以互相转换，可左旋也可右旋，跳的极其准确、漂亮和迷人，无可挑剔。
四环舞曲由A—C、A—D、B—C、B—D四环组成，在标准五星图上每一步演绎旋转144度，每4步都会出现拓扑同构，使图旋转576度，称为1节，5节20步，旋转8周则使全图回归原方位。在1992年的《一证》中已经首演（未具体展示全部20个证明）。下面演出的是A—C、A—D、C—D三环舞的全部舞曲。
三环演绎每一步使图旋转216度。每演绎12步都会依序出现拓扑同构，称为1节，使全图旋转2592度，5节60步旋转36周，则使全图全方位回归。在这个过程中，全部60个证明（包括了四环演绎的20步图及其证明），全部都在5星图上“亮相”。

下面列举的是A—C、A—D、C—D三环舞（逆时针方向）第一节演出的舞步图及其具体证明歌词：
第一步：在起始图图5中，对A—D环（经过V）外的B与C二色进行互换，得图6。
证明：在图6中，在5轮沿A—C短半环形成的A—C环中，进行B与D二色互换（如图7。当然也可以交换A—C环外的D—B链），成为无交叉链的K—构形，四色可解。

第二步：在图6中，于D—C环（经过V）外进行A与B二色互换，得图8。

证明：在图8中，在5轮沿B—C—B长半环形成的B—C环中，进行A与D二色互换（如图9。当然也可以交换B—C环外的A—D链），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第三步：在图8中，在C—A环（经过V）内进行B与D二色互换，得图10。

证明：在图10中，在5轮沿C—D短半环形成的C—D环中，进行A与B二色中互换（如图11。当然也可以交换C—D环外的A—B链），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。

第四步，在图10中，在A—D环（经过V）外进行B与C二色互换，得图12。
证明：在图12中，在5轮沿B—D—B长半环形成的B—D环中，进行A与C二色互换（如图13。当然也可以交换B—D环外的A—C链），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第五步，在图12中，在D—C环（经过V）外，进行A与B二色互换，得图14。

证明：在图14中，在5轮沿D—A短半环形成的D—A环中，进行B与C二色互换（如图15。当然也可以交换D—G环外的B—C链），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第六步：在图14中，在C—A环（经过V）内进行D与B二色互换，得图16。
证明：在图16中，在5轮沿B—A—B长半环形成的A—B环中，进行C与D二色互换（如图17。当然也可以在A—B环外进行C—D链的交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第七步：在图16中，在A—D环（经过V）内，进行B与C二色互换，得图18。


证明：在图18中，在5轮图沿A—C短半环所形成的A—C环中，进行B与D二色互换（如图19。当然也可以在A—C环外进行B—D二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第八步：在图18 中，在D—C环（经过V）外进行A与B二色互换，得图20。
证明：在图20中，在5轮沿B—C—B长半环形成的B—C环中，进行A与D二色互换（如图21。当然也可以在A—C环外进行A—D二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。

第九步：在图20中，在C—A环（经过V）外B与D二色互换，得图22。

证明：在图22中，在5轮沿C—D短半环形成的C—D环中，进行A与B二色互换（如图23。当然也可以在C—D环外进行A—B二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第十步：在图22中，在A—D环（经过V）外进行C与B二色互换，得图24。

证明：在图24中，在5轮图沿B—D—B长半环形成的B—D环中，进行A与C二色互换（如图25。当然也可以在B—D环外进行A—C二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第十一步：在图24中，在D—C环（经过V）外进行A与B二色互换，得图26。
证明：在图26中，在5轮沿A—D短半环形成的A—D环中，进行B与C二色互换（如图27。当然也可以在A—D环外进行C—B二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
第十二步：在图26 中，在C—A环（经过V）外进行B与D二色互换，得图28。这时构形已变成为起始图图5的BAB型了，只是峰点A没有回到最初的顶点2上。


证明：在图28中，在5轮沿B—A—B长半环形成的A—B环中，进行C与D二色互换（如图29。当然也可以在A—B环外进行C—D二色交换），也成为无交叉链的K—构形，四色可解。
至此（图29），全图已首次在异方位回归到初始的BAB图形（即图5）状态，为四色不可解线路集合终极的拓扑同构图。
第十三步，在图28中，对A—D环（经过V）外的B与C二色互换，得图30。又开始了新一轮的12步演绎。继续演绎下去，每12步（第24步、第36步、第48步、第60步）都出现一次BAB图形状态，至第60步全图全方位回归到初始状态的BAB图形。总共需用要5轮12步演绎才能使构形又以BAB型的面目出现，且峰点A彻底返回到最初的顶点2上，各顶点的颜色均与最初的起始图完全相同。由于演绎太长了，每12步的图，都是依序的拓扑同构图，其证明也是一样，故在此不再也无必要一一具体列出。

以上全方位的详尽演绎和具体证明，充分显示出：不管四色妖魔怎么拼命折腾，是逃不出四色定理的“天网”的。同时，这也证明了，五星网络构形是一张疏而不漏的捕捉四色妖魔的“天网”。
读至此，四色仙子舞也真的不必在此继续跳下去了，真是大繁若简，完备极了。全部6个二色环轮番出场，一一破解相对应的双环交叉，共领风流。何需还在构图迷宫中苦苦寻找“不可免”的“完备集”？又何止A—B环和C—D环两枝花独秀？数学女王也可以笑了吧，春风已度玉门关。“普天之下，莫非王土。率土之滨，莫非王臣”。王道行于天下矣。
四色王国的“王道”是什么？就是四色仙子舞揭示的四色定理成立的原理，即：四色定理原本就是一种客观存在，所有阻挠四色定理成立的各种交叉二色环，全部不可避免地在可控调节中被一一破解。在五星图上仙子舞的全部过程中，令人惊喜的正是：一方面通过“舞”看到双环交叉周而复始地无缝隙地交接变化，同时又从“歌词”知道所有这些双环交叉是怎样一一被破解和得到证明的。
为什么能够这样？下面我们还得在“知其所以然”层面上一探究竟。
在这里，还要特别强调的是，在A—C、A—D和C—D三环演绎过程中，耀眼地出现了一个特别的不可免现象，即：5轮沿始终都存在着双B。这是由于每一步演绎的换色都是在5轮沿自身的循序换色引起，总的色素不变（1个A，2个B，1个C，1个D）只是分布上的变换。这就是《一证》升级的一个重要标志。
在《一证》中，作为辅证与验证，我也进行了三环演绎，可惜至今没有引起四色研究者的注意，还在苦苦寻求“不可免集”或停留在围绕A—B环和C—D环上做文章。因天地还太小了，是彻底回答不了“此外还有没有？”的问题的。应当说：还有。请看在上述仙子舞的60个图中，三分之二就没有A—B环和C—D环，而是全部由A—B、C—D、B—C、B—D、A—C、A—D 6个中心环分别共领风流。它与5轮沿初始的既定填色除了双B外并无直接关系，也不能用异色同构的理由来解释。因为2个初填的B色始终存在，没有变为双A、双C和双D啊！显然，这是对当前具有权威性的时兴的孤立、静止、直线型外扩的“不可免集”理论的一个挑战：不能认为只要找全了它们的最小构形，就可以得到无漏的四色定理的证明。这还没有跳出穷举法的窝穴啊！根本问题不在于有多少个“不可免集”和是否还有遗漏，而在于是否能找到将无限平面上的直线型证明转换为环型有限证明的终极图，并在图中得到证明。从证明四色定理的实战来说，“此外还有没有？”本身就是穷举法的思维方式，对穷举法的证明当然必要，但对反求思路的终极证明来说却是多余的。因为反求思路的终极证明是不用穷举法而能得到穷极证明的方法。孙悟空的72变都在五星图的演绎之中啊！

（（未完，接下贴）

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