“芝诺悖论”不是悖论 是偷换概念式的诡辩

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2006/05/01 10:27am 第 3 次编辑]

　　　　　　　　“芝诺悖论”不是悖论　是偷换概念式的诡辩
　　用物理语言叙述“芝诺悖论”：
　　阿基里斯与乌龟赛跑，同时但不同地出发，出发时阿基里斯在点A0处，乌龟在A0的前面点　A1处，当阿基里斯追到A1处时，乌龟又到了前面的A2处；当阿基里斯追到A2处时，乌龟又到了前面的A3处，……当阿基里斯追到An处时，乌龟又到了前面的An+1处；……因此阿基里斯无论跑得多快，永远也追不上乌龟。
　　在事实上是不可能的，因此说这是“芝诺悖论”。
　　永远也追不上乌龟的“永远”，在这里芝诺让人认为是“时间无限长”
　　真的是悖论吗？那让我们仔细分析一下这个“悖论”吧。
　　一般是指阿基里斯与乌龟都作匀速的赛跑。设阿基里斯的速度为a，乌龟的速度为b，且a>b；设A0与A1的距离为S。用物理学的观点，令T=S/(a-b)，那么阿基里斯用时间T就可以追上乌龟。
那么当阿基里斯追到A1处时，用时S/a，这时乌龟到达A2，则A1与A2的距离为Sb/a；阿基里斯从A1追到A2用时为Sb/a^2=(S/a)(b/a)，这时乌龟又到达A3处，且A2到A3的距离是(S/a)(b/a)b；阿基里斯从A2追A3用时为[(S/a)(b/a)b]/a=(S/a)(b/a)^2；阿基里斯从A3追到A4用时为(S/a)(b/a)^3……阿基里斯从An追到An+1处用时为(S/a)(b/a)^n……。由此可知阿基里斯追乌龟的时间可表示为级数：
　　 S/a+(S/a)(b/a)+(S/a)(b/a)^2+(S/a)(b/a)^3+…+(S/a)(b/a)^n+…
　　=(S/a)[1+b/a+(b/a)^2+(b/a)^3+…+(b/a)^n+…]= (S/a){1/[1-(b/a)]}=(S/a){a/(a-b)}=S/(a-b)=T。
即在这里是把一个有限数值T表示为无限的形式，即用一个收敛于T的级数表示。一个有限数值并不能因为表示成无限的形式而改变其有限的性质。
　　逐项写出上面的级数的各项，需用的时间为无限长。"写出级数各项"用时与阿基里斯追乌龟用时是两回事。“写出级数各项”永远也写不完，是因为级数的项数无限多。“芝诺悖论”说的阿基里斯永远也追不上乌龟的“永远”事实上是指“级数的项数无限多”而不是阿基里斯追乌龟用时“无限长”。
　　因此芝诺说的阿基里斯永远也追不上乌龟的“永远”是把“级数项数无限多”这一概念偷换为“时间无限长”；或者说用无限形式的“无限”去偷换了具有有限实质的“有限”。即所谓的“芝诺悖论”不是悖论，是偷换概念式的诡辩。
　　在“理论上”是否存在，阿基里斯在每一瞬间都比乌龟的速度快，却永远也追不上乌龟的可能性存在呢？回答是存在的。
　　一、设乌龟以速度为v匀速爬行，且乌龟从A0爬到A1用时为T，A0到A1、A1到A2、…、An到An+1的距离都相等，即乌龟从Ai从爬到Ai+1(i=0,1,2,3,…)用的时间都是T，乌龟爬到A1时，阿基里斯开始追乌龟，在第一段时间T内阿基里斯追赶的速度是v(1+q)，在第二段时间T内阿基里斯追赶的速度是v(1+q^2)，在第三段时间T内阿基里斯追赶的速度是v(1+q^3)……，在第n段时间T内阿基里斯追赶的速度是v(1+q^n)……，显然当q≤1/2时，阿基里斯永远也追不上乌龟。
　　二、仍然设Ai到Ai+1(i=0,1,2,3,…)距离为1/(i+1)，乌龟从Ai爬到Ai+1(i=0,1,2,3,…)速度也是1/(i+1)；阿基里斯Ai追到Ai+1(i=0,1,2,3,…)速度也是1/(i+1)。只不过是乌龟先爬了单位时间后，阿基里斯才开始追赶。这时也总有阿基里斯的速度比乌龟快，但阿基里斯却永远也追不上乌龟。

wangyangkee

俞根强，瘪气了；那理直气壮的蠢货已经在忍气吞声了，，，