已知 a 是有理数，(a+√18))/[-12+√(2a^2)] 也是有理数，求 a 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

天元酱菜院

注意到 √(2a^2)+12  >=  12  >0
于是,对有理数 (a+√18) / (-12+√(2a^2))乘以有理数 1= (√(2a^2)+12 ) / (√(2a^2)+12) 仍为有理数;
即: (a+√18) (√(2a^2)+12)  / (2a^2 - 144) 为有理数。

由于a为有理数，所以 2a^2-144为有理数，
由于√72=6√2 为无理数，不会等于有理数a， 所以，2a^2-144 不为0

于是：(a+√18)(√(2a^2)+12) 为有理数。即 √2 *a*|a| + 6|a| +12a + 12√18 为有理数
即： √2 (a*|a| + 36) 为有理数。  
但(a*|a|+36) 显然是有理数。若要√2(a*|a|+36)为有理数，只有(a*|a|+36)=0

当a>=0时， a*|a|+36 = a^2 + 36 >= 36 >0 不符合条件
当a<0时， 由-a^2+36=0 解出 a=-6 符合条件。
经验算： （- 6 + √18 ） /  (-12 + √72 ) = 1/2 是有理数。  

即：  a= - 6 是为所求

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又和陆老师重了。（晚发几分钟）

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。