在 ΔABC 中，∠B 平分线交 AC 于 P ，AB=6 ，BC=8 ，cos∠B=-4/5 ，求 BP

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

以B为原点，以BC方向为x轴正方向建立坐标系。 （自x轴正方向，逆时针旋转∠B角度与BA重合）
于是，B点坐标（0,0）， 由已知BC=8，易得C点坐标（8,0）

由坐标系选择，有 0 < ∠B < π，  所以： sin(∠B)= (1 - 16/25)^0.5 = 3/5
A点坐标： （6*（-4）/5， 6*3/5） 即（-4.8 , 3.6）
AC坐标均已获得，易求AC所在直线方程为  y=- 9/32x +9/4

由题意，∠CBP = ∠B/2 ，由 0 < ∠B <π， 有 0< ∠CBP < π/2;
由cos(∠B)=-4/5 , 有 sin(∠CBP)=3/√10;  cos（∠CBP）=1/√10;   tan(∠CBP)=3
BP所在直线方程： y=3x

联立AC直线方程与BP直线方程
解出P点坐标：（24/35, 72/35）

B点是原点，易求BP
BP长： 240/35 = 48/7

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

解法一。
1，在三角形ABC中，已知两边及夹角，由余弦定理可得AC，
2，根据角平分线定理，把AC按6：8分割，
3，在三角形ABP中，已知两边及对角，由正弦定理可得BP。
解法二。
1，根据角平分线定理，可知PA: PC=sin∠PAB:sin∠PCB=6:8，
2，已知∠PAB+∠PCB，可解方程sin∠PAB:sin∠PCB=6:8。

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。