国庆献礼－四边形蝴蝶定理之我证

ccmmjj

在做证明之前，先给出我在上一贴子后命题的证明。
如图，三角形ABC中，O是BC中点。E、F在直线BC上，且O也是EF的中点。过O的两直线分别交AB、AE、AF、AC于B1、E1、F1、C1。
求证：直线B1F1与C1E1交点在ＡＯ上。

我现在就证明它。它的证明，要用到射影几何的思想。

如图，保持直线ＢＣ不变（以ＢＣ为基准线），将Ａ点投射为无穷远点Ａ∞，这时候，经过Ａ点的直线都变成了互相平行的直线ＢＢ１，ＣＣ１，ＥＥ１，ＦＦ１等。这时经过Ｏ的这条平行线根据平行线等分线段定理，当然平分Ｅ１Ｆ１及Ｂ１Ｃ１.
再由平行线分线段成比例定理及其逆，OF1/OC1=OF/OC=OE/OB=OE1/OB1推出E1F1∥B1C1.推出B1F1与E1C1交点Ｄ在三角形ＯB1C1中线上是显然的事了。
这样就证明了此命题。这个命题的证明距四边形蝴蝶定理之证明只有一步之遥，先放一放，哪位网友有兴趣，可以试着完成它。

ccmmjj

顺便给出另一个结论，作为楼上命题的副产品。
从楼上对命题的证明过程中可以看到，在Ａ点投射到无穷远点Ａ∞后，E1F1∥B1C１——其实也就是说E1F1与B1C１相交于某一无穷远点。由于直线OB1与OC1可以变动，即得E1F1与B1C１交点在固定直线（无穷远）上。再把图形投射回来，就得到E1F1与B1C１交点在经过Ａ点的固定直线上，考虑到我们这个投影的基准或找一个特殊点确定，容易知道，这条直线就是经过Ａ点且平行于ＢＣ的直线。

ccmmjj

四边形蝴蝶定理的证明：
如图，四边形ABCD中，AC平分BD，过BD中点E作直线FG、HI，与四边交点分别是F、G、H、I。FI，GH分别交BD于J，K点。
求证：E点平分JK。

证明：如图将四边形ＡＢＣＤ绕Ｅ点旋转180°，得四边形A'BC'D（红色四边形），此时ＧＨ旋转为G'H'.考虑三角形ＢCC'中，有EA=EA',EC‘’=EC。过Ｅ的两直线交BA与BA'分别为Ｆ,H'。交BC'与ＢＣ分别为G',I。根据一楼的结论，知道G'H'与ＦＩ交点在ＢＥ上。当然就是Ｊ点。由于G'H'是ＧＨ绕Ｅ旋转180°得到的，而ＥＤ绕Ｅ旋转180°得ＥＢ，即得ＥＫ绕Ｅ旋转180°得ＥＪ。也就得到E点平分JK。■
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国庆中秋都过完了，祝网友们学习进步，快乐生活。呵呵。

luyuanhong

楼上 ccmmjj 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。