关于《探究四色定理（A、B、C）》的说明（退改稿）

波斯猫猫

科学智慧火花
首页 智慧火花 学术沙龙 科学视点青年园地 校园行 科学家故事科普书评栏目简介 联系我们
稿件详情
                                             关于《探究四色定理（A、B、C）》的说明（退改稿）
因《科学智慧火花》栏目限制每篇文章字数不超过3000，故《探究四色定理》分为《探究四色定理（A）》、《探究四色定理（B：续A）》、《探究四色定理（C：续B）》三部分，别无他法，敬请专家谅解！这份说明，供专家审阅时参考,也便于专家对作者提出相关问题。审稿专家提出文章中存在的漏洞或具体问题后，作者将及时给予解释或解决问题。
        一 理论基础
        基于四色定理的原始叙述及状态，利用肯普定理（每一幅正规地图，至少有一国具有两个、三个、四个或五个邻国，不存在每一国都有六个或更多邻国的正规地图）、德·摩根定理（不可能有五国处于每一国都和其余四国相邻的位置）、欧拉公式（V－E＋F＝2）及数学归纳法等去解决问题。
        二 分析
        视正规地图中所有的国家连成一片（否则可对每一片做出如下同样的证明），分为两种情形，即这一片内部没有空的区域（这时视正规地图的内部与外部的分界线为正规地图的边界）或有空的区域（存在没有包围国家的圈）。把每个空的区域各视为一国，后者就转化成了前者，若这时四色定理成立，把空的区域所着的色去掉，还原出原来的空的区域即可。故只需对前一种情形证明四色定理成立。实际上，证明四色定理的难点和关键在五构形，我们从Q（有五个邻国）的五个邻国按两两相邻的组数分类入手，并对各类情形做出证明。
        三 预备理论
        1 四个定义
        定义1：根据肯普定理，称每一国的邻国个数都不小于n（含n。n取2、3、4、5）的正规地图为n构形（是为了便于叙述和节约文字）。
        据此，正规地图可分为二构形、三构形、四构形或五构形等四种情形。
        定义2：若正规地图所有的国家连成一片且内部没有空的区域，则称内部与外部的分界线（一条简单闭曲线）为正规地图的边界（为了方便讨论，有的国家处于边界位置）。
        定义3：若国P的一段边界（不含一点）在正规地图的边界上，则称P为边沿国（对处于边界位置的国家有用，也便于以下证明时分类）。
        定义4：若一国或连成一片的几国被一些国家（至少两个）包围，则称由这些国家形成的环为圈（是为了便于叙述、节约文字及人们的习惯）。
        2 两个引理
        引理1：五构形的国家个数的集合W＝｛12,14,15，16，…,n,…｝。
        此引理的目的只为了得到五构形的国家数目（其结构远非如此），由此可采用数学归纳法证明引理2，其证明用构造法直观而简洁地完成。
        引理2：在n≥15的五构形中，若Q的五个邻国满足：ⅰQ被五个邻国形成的圈包围；ⅱ五个邻国中不存在两国与Q形成圈；ⅲ五个邻国中至少有一国P的邻国个数不小于六，则四色定理成立。
        此引理条件较强，是为了在证明四色定理中引用。其证明采用了第二数学归纳法，此方法是一个模式化的过程，关键在第二步的归纳假设和递推。它的每一步都要朝着有利于目标（相应的模式）实现的方向转化，最终达到目标。同时，在应用数学归纳法之前，应用欧拉公式简单的证明，以排除国家个数是12的情形是必要的。另外，Q的五个邻国中可以有边沿国，也可以没有边沿国，即不存在是否有边沿国的条件限制。
        ⑴第一步，取n=15时验证的模式与方法，是为了能提出相应的归纳假设，人为地设置了一些障碍，以满足归纳假设的模式。同时，当国家个数是同一个值15时，恰好将有关的两国合并为E后，能使其成为四构形或五构形，从而四色定理成立。换色后为五构形，四色定理也成立。
        ⑵假设15≤n≤k时，四色定理都成立。在此基础上，把A和Q视为国E（合并），国家的个数满足14≤n≤k－1，除14外的每一个值，都含有A和Q未合并与合并了的两种情况，未合并时是五构形，合并后是四构形或五构形（与初始值的验证相吻合）。这样，换色前和换后的归纳假设本质上是等效的。当n=k+1时，把A、B与Q视为国E（合并），此时n=k－1（利用合并后），其构形为四构形或五构形，满足归纳假设。根据换色前的归纳假设，四色定理成立。再把Q换成色即可。引理2的证明是难点之一。
        四 证明四色定理
        ⑴当1≤n≤15时，前人已证明了四色定理成立（至少n≤22。略）。
        ⑵假设15≤n≤k时，四色定理都成立；
        以下是递推时各种情形的分类及说明
        分类详尽，特别是五构形的情形，种类繁多，按层次层层分类，无重复、无遗漏。共分为180种情形证明。这是难点之二（其结构千奇万状，众多种情形的证法变化多端，国与国的合并个数与方式几乎无规律可寻，换色的国家从一国、两国、…，到一批不知具体国家的情形多种多样）。
        Ⅰ二构形（3种情形）；
        Ⅱ三构形（4种情形）；
        Ⅲ四构形（6种情形）；
        以上的证明十分简单。
        Ⅳ五构形
        令Q有五个邻国。易验证这五个邻国两两相邻的组数有0到7等八种情形。
        当Q的五个邻国的关系是除两两相邻外两两没有公共点时
        ㈠相邻组数不大于四（11种情形）
        把五个邻国两两相邻的组数从0到4的情形归结为一类，图八10的情形的证明方法很典型，以后有的情形将采用此法或仿此法而略去证明。
        ㈡相邻组数是五
        ⅰQ的邻国中不存在两国与Q形成圈
         这时Q为非边沿国，有两种情形。
        ①Q的五个邻国每一国的邻国个数都是五
        若Q的五个邻国中没有边沿国（1种情形）
        若Q的五个邻国中有边沿国（135种情形）。这是难点之三。
        这时在Q的五个邻国的外部分别有五个至十个国家与它们相邻，共135种情形（见附图C）。其中，沿一段边界，由一国与一国或一国与两国能把五构形分成两部分的有127种，不能分成两部分的有8种（见附图C注）。对前127种情形，以序号是8的为例（其它都可类似地证明而省略）。序号是27，如图九1⑻的情形的证明方法相当特别，经过数十次试验才解决了问题。这是难点之四。
        ②Q的五个邻国每一国的邻国个数不都是五（1种情形）
        此情形即是Q的五个邻国中至少有一国的邻国个数不小于六的情形，对此，引理2（不涉及Q的五个邻国是否有边沿国的问题，Q的五个邻国中可以有边沿国，也可以没有边沿国）已证明了n≥15时四色定理成立。当然n=k＋1时四色定理也成立。
       ⅱQ的邻国中存在两国与Q形成圈
        ①有一个圈（5种情形）
        ②有两个圈（1种情形）
        不可能有三个圈的情形
        ㈢相邻组数是六
        ⅰQ为边沿国（5种情形）
        ⅱQ为非边沿国（4种情形）
        注意到如图十7的情形的证明方法与过程。
        ㈣相邻组数是七（4种情形）
        ⅰQ为边沿国（1种情形）
        ⅱQ为非边沿国（3种情形）
        注意到如图十7的情形的证明方法与过程。这是难点之五。
        当Q的五个邻国的关系是除两两相邻外两两有公共点时
        两个国家相邻一定有公共边界，两个国家不相邻一定没有公共边界，但可以有公共点。定义3：若国P的一段边界（不含一点）在正规地图的边界上，则称P为边沿国。这个定义限定“不含一点”也是为了在前面的讨论中便于分类，实际上，一个国家只要有一点在正规地图的边界上，就可以称为边沿国，这是因为正规地图没有三个以上的国家交于一点，此边沿处仍是没有国家的。所以，以下的讨论中，把各种情形中的边沿国Q在正规地图边界上的一段边界部分或全部地收缩成一点，相邻国家的组数和相邻关系都不会改变，且收缩为一点后形成众多种情形（实在不易统计）的证明仍同之前所对应的情形的证明。（作者：四川省岳池县白庙职中 陈陶）
                                                        
                     




智慧火花首页 | 提交智慧火花
©1996- 2017 中国科学院 版权所有 京ICP备05002857号 京公网安备110402500047号
地址：北京市三里河路52号 邮编：100864

雷明85639720

陈陶朋友：
1、你把一篇文章还分成了A，B，C三部分，你看一看你这里的文字有没有3000字呢。为什么要受编辑要求的3000字数限制呢。3000字的限制不过是一个不刊登你的文章的借口而已。
2、关键的问题是一定要把问题说得叫人能看明白，这才是最主要的，别人看不明白，你就是把字数控制在3000以内，编辑可能也是不会给你发稿的。
3、你说：“引理1：五构形的国家个数的集合W＝｛12,14,15，16，…,n,…｝。”集合中最小的元素的数值是12，为什么是12，你说明了吗，连一个图也没有，怎么叫别人能看明白呢。
4、你的理论可能是成立的，但你要大家认可你的理论，就得从文字上下功夫，叫别人首先能看明白你是在说什么，否则，没有人能看明白，甚至编辑也看不明白，他能登你的文章吗。
5、再三劝告你，你为什么一点也不理解我的意思呢。
6、你如果这样犟下去，那你就等着吧，看科学智慧火花，何年何月能登出你的稿件呢。
陈陶朋友：
建议你，如果想尽快的让你的理论出世，你可以走出版社出版的道路——出书。出版社是不受字数限制的，只要没有反对社会的言论，应该是可以给出版的。目前有关四色问题的书，已经出版了不少，你可以他们学习，走这条路子。但关键的问题，还是要求你——作者，要把话说得让大家都能看明白，这才是主要的，你的书也才有人去看。否则，就是出了书，也是没人去看的，与科学智慧火花的编辑一样，也是不会给你刊登的。

波斯猫猫

民科最基本的素养就是要尊重科学、敬畏科学，坚持科学原则、坚持科学标准、坚持科学共同体。

雷明85639720

朋友，你等着，看火花何年何月能刊出你的搞件呢。