含 2012 在内的 2n+1 个连续正整数中，前 n 个数的平方和等于后 n 个数的平方和，求 n

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

假設n是正整數，如果包含2012在內的連續2n+1個正整數中，

前n+1個數的平方和等於後n個數的平方和，試求n之值

luyuanhong

谢谢楼上 蔡家雄 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

设连续2n+1 个正整数的最中间数字是M， 则有

M^2+∑(i=1 to n)  (M-i)^2 = ∑(i=1 to n) (M+i)^2
即： M^2= ∑(i=1 to n)  ( (m+i）^2 -  (M-i)^2 )
             = ∑(i=1 to n)  ( 4Mi)
             = 4M n(n+1)/2
即： M =2n(n+1) ， 即连续的2n+1个数，是2n^2 +n 到2n^2+3n.
于是有：  2n^2+n <= 2012 <= 2n^2+3n；  或2n^2 + n -2012  <=  0  <=  2n^2+3n -2012

求 2n^2+n-2012=0 的根， 得到： (-1+√(1+16096) )/4    在31和32之间  （另一根为负值舍弃）
（即选择  n=31时， 2n^2+n-2012 <0 ;           实际上，2*31*31+31-2012 = 1953-2012=- 59）

求  2n^2 +3n-2012=0的根，得到：  (-3+√(9+16096) )/4   在30和31之间 （另一根为负值舍弃）
( 即选择 n=31时， 2n^2+3n-2012 >0 ；          实际上， 2*31*31+93-2012 = 2015-2012=3 )

所以 n=31

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。