线性代数问题

silver

求一个矩阵的列向量的一个极大线性无关组，通过行初等变换把矩阵变成阶梯形矩阵，这时非零行的非零首元所在的列向量为一个极大线性无关组，这是为什么。

fleurly

行的初等变换不改变列的线性关系

silver

但为什么是非零行的非零首元

silver

问题来自于线性代数同济大学第五版93页例11

郭经理1

r3-2r1,r1-2r2,r4-3r2
0 -3  3 -1 -6
1  1 -2  1  4
0 -4  4 -4  0
0  3 -3  4 -3
第1列就处理好了
那么, 第1列只有1个非零的数1, 之后, 它所在的行和列就不要动了
r3*(-1/4), r1+3r3,r4-3r3
0  0  0  2 -6
1  1 -2  1  4
0  1 -1  1  0
0  0  0  1 -3
这是处理第2列.
注意, 并没动第2行
同理, 之后, 第2,3行都不动了
第3列除2,3行的数外都是0, 不用管了
下面处理第4列:
r1-2r4
0  0  0  0  0
1  1 -2  1  4
0  1 -1  1  0
0  0  0  1 -3
再交换行
1  1 -2  1  4
0  1 -1  1  0
0  0  0  1 -3
0  0  0  0  0
就是梯矩阵了
非零行的首非零元所在列对应的向量就是一个极大无关组
所以 a1,a2,a4 是一个极大无关组

silver

为什么a1,a2,a4 是一个极大无关组,原因是什么？