勾股数abc是60的倍数的证明

费尔马1

求证:勾股数组，ab是12的倍数，
abc是60的倍数。
证明:
最简勾股数的通解式是:
a=（u∧2-v∧2）/2
b=uv
c=（u∧2+v∧2）/2
其中，u、v为互质的奇数，且u＞v
设m=abc=uv（u∧2-v∧2）（u∧2+v∧2）/4
一、先证明m含因子3
在uv（u∧2-v∧2）中，
当u、v其中之一是3的倍数时，m即含因子3；当u、v都不是3的倍数时，
u、v与3互质，据费马小定理可知，
u∧2≡1 （mod 3）
v∧2≡1 （mod 3）
可以令  u∧2=3n+1， v∧2=3k+1
∴u∧2-v∧2=3（n-k）
这时，m也是3的倍数；
二、再证明m含因子4
在（u∧2-v∧2）/2中，
令u=2n+1，v=2k+1
则（u∧2-v∧2）/2=
〔（2n+1）∧2-（2k+1）∧2〕/2
=〔4n（n+1）-4k（k+1）〕/2
∵n（n+1）、k（k+1）都是偶数
∴〔4n（n+1）-4k（k+1）〕是8的倍数，
即（u∧2-v∧2）/2是4的倍数，
推出m含因子4；
三、再证明m含因子5
在uv（u∧4-v∧4）中，
当u、v其中之一是5的倍数时，m即含因子5；
当u、v都不是5的倍数时，
u、v与5互质，据费马小定理可知，
u∧4≡1 （mod 5）
v∧4≡1 （mod 5）
可以令  u∧4=5n+1， v∧4=5k+1
∴u∧4-v∧4=5（n-k）
这时，m也是5的倍数，
故，ab是12的倍数（3*4），
abc是60的倍数（3*4*5）。
           2017-10-18

费尔马1

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费尔马1

缩写文章如下:
求证:
勾股数组，ab是12的倍数，abc是60的倍数。

证明:
最简勾股数的通解式是:
a=（u∧2-v∧2）/2
b=uv
c=（u∧2+v∧2）/2
其中，u、v为互质的奇数，且u＞v
设m=abc=uv（u∧2-v∧2）（u∧2+v∧2）/4

一、先证明m含因子3
在uv（u∧2-v∧2）中，
当u、v其中之一是3的倍数时，m即含因子3；当u、v都不是3的倍数时，
u、v与3互质，据费马小定理可知，
u∧2≡1 （mod 3）
v∧2≡1 （mod 3）
∴u∧2-v∧2≡0（mod3）
这时，m也是3的倍数；

二、再证明m含因子4
在（u∧2-v∧2）/2中，
令u=2n+1，v=2k+1
则（u∧2-v∧2）≡0(mod8)
即（u∧2-v∧2）/2是4的倍数，
推出m含因子4；
三、再证明m含因子5
在uv（u∧4-v∧4）中，
当u、v其中之一是5的倍数时，m即含因子5；
当u、v都不是5的倍数时，
u、v与5互质，据费马小定理可知，
u∧4≡1 （mod 5）
v∧4≡1 （mod 5）
∴u∧4-v∧4≡0（mod5）
这时，m也是5的倍数，
故，ab是12的倍数（3*4），
abc是60的倍数（3*4*5）。
           2017-10-18

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谢谢！蔡老师的关注。祝您身体健康！

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云南玉龙之

来个简单的勾股数3,4,5
======1/3,1/4, 1/5
t通分====1/3x1/4x1/5=1/60

费尔马1

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费尔马1

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