已知 A,B 都是 3 阶复方阵，A^2-B^2=I ，证明 (AB-BA)^3=O

luyuanhong

随便112

lu教授 好像题目有问题 经过反复计算，终于发现题目是错误的
倒是如果改成证明tr((AB-BA)^3)=0就简单了。
例子可以选择
gp > A=[0,3,0;5,0,0;0,0,1]
gp > B=[0,7,0;2,0,0;0,0,0]
(18:29) gp > A^2-B^2
%11 =
[1 0 0]
[0 1 0]
[0 0 1]
(18:29) gp > A*B-B*A
%12 =
[-29 0 0]
[0 29 0]
[0 0 0]

luyuanhong

下面引用由随便112在 2011/11/16 09:48pm 发表的内容：
lu教授 好像题目有问题 经过反复计算，终于发现题目是错误的
倒是如果改成证明tr((AB-BA)^3)=0就简单了。
例子可以选择
gp > A=gp > B=
...

对！这题目确实有问题，题目的结论是不成立的。我给出的证明也是不成立的。
在我的证明中，说：“(A+B)(A-B) 与 （A-B)(A+B) 有相同的特征值”是对的，但是，
我没有注意到特征值不一定要按次序对应相等，所以，不能推出“AB-BA 的 3 个特征值都是 0 ”。