p 为大于 3 质数，a≥b≥c≥d 为整数，满足 a+b+c+d=0 ，ad-bc+p=0 ，求 a

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

波斯猫猫

题：p 为大于 3的 质数，a≥b≥c≥d 为整数，满足 a+b+c+d=0 ，ad-bc+p=0 ，求a。
1，由a+b+c+d=0有a+d=-（ b+c），平方后整理得
      2（bc-ad）=(a＾2+d＾2)-(b＾2+c＾2)
      =(a＾2- b＾2)+( d＾2-c＾2)；
2，把a+b+c+d=0（c+d=-（a+b）） ，ad-bc+p=0 代入上式化简整理有
      2 p=2(a+b)(a+c)，即p=(a+b)(a+c)；
3，由p 为大于 3的 质数，a≥b≥c≥d 为整数，有  a+b=p ，a+c=1；
4，由此解得b=p-a, c=1-a,d=-b-1=a-p-1, 即  a≥p-a≥1-a≥ a-p-1；
5，从而p≤2a≤p+2；
6，因p 为大于 3的 质数，a是整数，故2a=p+1,即a=(p+1)/2。

波斯猫猫

重复了的

luyuanhong

谢谢楼上 波斯猫猫 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

波斯猫猫 发表于 2017-10-27 22:05
题：p 为大于 3的 质数，a≥b≥c≥d 为整数，满足 a+b+c+d=0 ，ad-bc+p=0 ，求a。
1，由a+b+c+d=0有a+d=- ...

非常漂亮。 ——所以，想锦上添点花

在第2点获得p=(a+b)(a+c)后，似应排除a+b与a+c均小于0情况。
可增加说明： 如果a+b<0,则有 c+d<=a+b<0，于是a+b+c+d<0 这与已知矛盾。
所以不会有a+b与a+c均小于0情况出现。

第6点，可明确说明：   2a不是素数且为偶数，p+2必为奇数，所以2a只能为p+1；

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的补充解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。