用 C1,C2,…,C6 将半径为 2 的半圆弧 AB 七等分，求所有形为 ACi,BCi 的弦长的乘积 n

wintex

請問陸老師一個幾何問題

王守恩

一，本帖的答案是28672。我们要的是一种解法。
我们先退回去，看会不会出现好的解法。
二，用 C1 将半径为 1 的半圆弧 AB 二等分，求 AC1,BC1 弦长的乘积 n。
1，2条弦的长度。设K=180/4
AC1=BC1=2sin(k)
2，2条弦的乘积n。
n={2sin(k)}^2=2
三，用 C1,C2 将半径为 1 的半圆弧 AB 三等分，求 AC1,AC2,BC1,BC2 弦长的乘积 n。
1，4条弦的长度。设K=180/6
AC1=BC2=2sin(1k)
AC2=BC1=2sin(2k)
2，4条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)}^2=3
四，用 C1,C2,C3 将半径为 1 的半圆弧 AB 四等分，求 6条 弦长的乘积 n。
1，6条弦的长度。设K=180/8
AC1=BC3=2sin(1k)
AC2=BC2=2sin(2k)
AC3=BC1=2sin(3k)
2，6条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)}^2=4
五，用 C1,C2,C3,C4 将半径为 1 的半圆弧 AB 五等分，求 8条 弦长的乘积 n。
1，8条弦的长度。设K=180/10
AC1=BC4=2sin(1k)
AC2=BC3=2sin(2k)
AC3=BC2=2sin(3k)
AC4=BC1=2sin(4k)
2，8条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)2sin(4k)}^2=5
六，用 C1,C2,C3,C4,C5 将半径为 1 的半圆弧 AB 六等分，求 10条 弦长的乘积 n。
1，10条弦的长度。设K=180/12
AC1=BC5=2sin(1k)
AC2=BC4=2sin(2k)
AC3=BC3=2sin(3k)
AC4=BC2=2sin(4k)
AC5=BC1=2sin(5k)
2，10条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)2sin(4k)2sin(5k)}^2=6
七，用 C1,C2,C3,C4,C5,C6 将半径为 1 的半圆弧 AB 七等分，求 12条 弦长的乘积 n。
1，12条弦的长度。设K=180/14
AC1=BC6=2sin(1k)
AC2=BC5=2sin(2k)
AC3=BC4=2sin(3k)
AC4=BC3=2sin(4k)
AC5=BC2=2sin(5k)
AC6=BC1=2sin(6k)
2，12条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)2sin(4k)2sin(5k)2sin(6k)}^2=7
八，用 C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7 将半径为 1 的半圆弧 AB 八等分，求 14条 弦长的乘积 n。
1，14条弦的长度。设K=180/16
AC1=BC7=2sin(1k)
AC2=BC6=2sin(2k)
AC3=BC5=2sin(3k)
AC4=BC4=2sin(4k)
AC5=BC3=2sin(5k)
AC6=BC2=2sin(6k)
AC7=BC1=2sin(7k)
2，14条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)2sin(4k)2sin(5k)2sin(6k)2sin(7k)}^2=8
九，用 C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8 将半径为 1 的半圆弧 AB 九等分，求 16条 弦长的乘积 n。
1，16条弦的长度。设K=180/18
AC1=BC8=2sin(1k)
AC2=BC7=2sin(2k)
AC3=BC6=2sin(3k)
AC4=BC5=2sin(4k)
AC5=BC4=2sin(5k)
AC6=BC3=2sin(6k)
AC7=BC2=2sin(7k)
AC8=BC1=2sin(8k)
2，16条弦的乘积n。
n={2sin(k)2sin(2K)2sin(3k)2sin(4k)2sin(5k)2sin(6k)2sin(7k)2sin(8k)}^2=9
n=2,3,4,5,6,7,8,9,10,....................
亲爱的网友！看着这些整齐的数字，您不心动吗？您不想亲手去解剖它！

wintex

王守恩 发表于 2017-11-5 08:31
一，本帖的答案是28672。我们要的是一种解法。
我们先退回去，看会不会出现好的解法。
二，用 C1 将半径 ...

想請問?

luyuanhong

wintex

luyuanhong 发表于 2017-11-7 00:18

謝謝兩位老師

王守恩

wintex 发表于 2017-11-6 21:43
想請問?

更进一步，我们将半径为 1 的半圆弧 k 等分，求 2(k-1) 条弦长的乘积 n(k)。

n(2)={2sin(Pi/4)}^2=2

n(3)={2sin(pi/6)2sin(2pi/6)}^2=3

n(4)={2sin(pi/8)2sin(2pi/8)2sin(3pi/8)}^2=4

n(5)={2sin(pi/10)2sin(2pi/10)2sin(3pi/10)2sin(4pi/10)}^2=5

n(6)={2sin(pi/12)2sin(2pi/12)2sin(3pi/12)2sin(4pi/12)2sin(5pi/12)}^2=6

n(7)={2sin(pi/14)2sin(2pi/14)2sin(3pi/14)2sin(4pi/14)2sin(5pi/14)2sin(6pi/14)}^2=7

n(8)={2sin(pi/16)2sin(2pi/16)2sin(3pi/16)2sin(4pi/16)2sin(5pi/16)2sin(6pi/16)2sin(7pi/16)}^2=8

n(9)={2sin(pi/18)2sin(2pi/18)2sin(3pi/18)2sin(4pi/18)2sin(5pi/18)2sin(6pi/18)2sin(7pi/18)2sin(8pi/18)}^2=9

n(k)=2,3,4,5,6,7,8,9,10,.......，答案可以是这样的吗?

王守恩

王守恩 发表于 2017-11-9 17:15
我们有以下恒等式。

我们有以下恒等式

luyuanhong