对 1,1/2,…,1/2011 作运算，每次运算都是消去 a,b，添加 a+b+ab，求最后剩下的一个数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

第1次运算：消去 1,1/2，添加1,1/2,1×1/2，合计  1 +1/2+1×1/2=2
第2次运算：消去 2,1/3，添加2,1/3,2×1/3，合计  2 +1/3+2×1/3=3
第3次运算：消去 3,1/4，添加3,1/4,3×1/4，合计  3 +1/4+3×1/4=4
第4次运算：消去 4,1/5，添加4,1/5,4×1/5，合计  4 +1/5+4×1/5=5
第5次运算：消去 5,1/6，添加5,1/6,5×1/6，合计  5 +1/6+5×1/6=6
第6次运算：消去 6,1/7，添加6,1/7,6×1/7，合计  6 +1/7+6×1/7=7
第7次运算：消去 7,1/8，添加7,1/8,7×1/8，合计  7 +1/8+7×1/8=8
第8次运算：消去 8,1/9，添加8,1/9,8×1/9，合计  8 +1/9+8×1/9=9
..............
第2010次运算：..............合计  2010 +1/2011+2010×1/2011=2011
经过2010次运算，最后剩下的数是  2011。

luyuanhong

天元酱菜院

设针对a,b“運算一次” 以 【a,b】表示。
1） 针对实数集合(有理数集合)内的任意两数，“運算一次”的结果仍为实数（有理数）。
      即“運算一次” 对实数集(有理数集)是闭的。
2）对于任意三个实数（有理数）a、b、c， 都有:
      【【a,b】,c】=【a+b+ab,c】=a+b+ab+c+ac+bc+abc ;
      【a,【b,c】】=【a,b+c+bc】=a+b+c+bc+ab+ac+abc ;
     即“運算一次” 对实数集(有理数集)，结合律成立。
3） 对于任意两个实数(有理数)a,b都有：
     【a,b】=a+b+ab=【b,a】
    即“運算一次” 对实数集(有理数集)，交换律成立。

4）所以，对于本题目中的2011个实数(有理数)施行的这2010次“運算一次”，与施行的先后顺序无关。
     （即所获得的结果是一致的）
     于是，我们可以按题目所给的顺序对这些数据依次施行。
5）以下对2楼王守恩网友的方法和计算结果进行整理：
第1次运算：【 1,1/2】=  1 +1/2+1×1/2=2
第2次运算：【 2,1/3】=  2 +1/3+2×1/3=3
第3次运算：【 3,1/4】=  3 +1/4+3×1/4=4
......
容易以类似于数学归纳法的方式验证：
第k次运算：【 k,1/(k+1)】=  k+1/(k+1)+k*1/(k+1) = k+1
于是，
最后一次运算（即第2010次运算）获得本题目结果：
               【2010，1/2011】=2011
     
谢谢王守恩。这里所谓整理，是纳入本楼的符号定义。

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

题外话： 本题目所规定的运算，在 Q-{-1} 集合上做成一个群。
-1 这个数，对于这个运算构成一个数字陷阱（或称数字黑洞）。

我们以下仍以【a,b】这个符号表示这一运算。
1) 【a,b】对于Q-{-1}是闭的。
     1-1:   Q中任意 a,b,   a+b+ab仍然属于Q，即【a,b】对于Q是闭的
     1-2:   设a,x ∈Q且 a不为-1，  若【a,x】=-1,  即有  a+x+ax=-1,  解方程得到唯一的根 x=-1
              即： 如果a,b均不为-1， 则 a+b+ab 不会等于 -1
              即 【a,b】对于Q-{-1} 是闭的
2) 结合律成立。
     【【a,b】,c】=【a+b+ab,c】=a+b+c+ab+ac+bc+abc=【a,b+c+bc】=【a,【b,c】】
3) 存在单位元。
      【a,0】=a+0+0=a     (对任意a∈Q-{-1} )
4) 存在逆元
       对于任意a∈Q-{-1}, 都有-a/(a+1)∈Q-{-1}, 使【a,-a/(a+1)】=a - a/(a+1) - a^2/(a+1)=0
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定义在Q(或R)上的这个运算，对于-1来说很有意思。
对于任何a∈Q(或R)，都有【a,-1】=【-1,a】=a-1-a=-1
这就是常说的数字陷阱或数字黑洞。( 当然，【-1.-1】还是-1 )


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    -1 这种奇葩现象其实也不奇怪，正如陆老师在3楼解法中指出的，【a,b】运算可以写为【a,b】=(a+1)(b+1)-1,
    对于a,b, 当他们均不为-1时 (a+1)(b+1)不为0，【a,b】不会等于-1，而当他们中有一个为-1时，
   （a+1）(b+1) =0   这就造就了 -1的奇葩现象。 很像普通乘法碰到0的现象。
  ————对称性仍然存在着。 仿佛是坐标轴平移似的，0点对正了-1这个数字。

天元酱菜院

楼上定义的群，与Q-{0}上定义的普通乘法群同构

命名 楼上定义的群，所涉及的集合Q-{-1}为 A
命名普通乘法群，所涉及的集合Q-{0}为B

B集合中任意元a 以A 集合中 a-1 为像，构成一一对应。

但任意a、b∈B，对a的像 a-1 与 b的像 b-1 做【x,y】运算:
   【a-1,b-1】=a-1+b-1+(a-1)(b-1) = ab-1
恰为 a、b做普通乘法的结果ab， 在A中的像 ab-1

即：两群同构。

可以理解成坐标平移后，对平移前体系的乘法运算， 在新坐标系下的对应运算。

——其原像，也可以理解成   “变换回去做乘法，而后再变换回来”

luyuanhong

楼上 天元酱菜院 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。