[原创]现有极限论中的两个本质性缺陷

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[watermark]现有极限论中的两个本质性缺陷
“极限”概念与“无穷”概念一样古老。极限论是人类科学大厦中唯一用来处理与“无穷小”、“无穷大”概念相关的数学内容的工具。几千年来人类用“极限”的思想来思考、认识与“无穷”概念相关的事物，用极限论来认识、处理与“无穷”概念相关的数学内容。
人类在极限论里用数学语言来描述科学大厦里的无穷理论体系，换句话说，整个极限论就是用数学语言来表述的无穷理论体系。极限论的存在形式、科学性与功能和无穷理论体系的状况息息相关，直接由无穷理论体系所决定。从本质上讲，二者之间存在着绝对的等价关系：人类科学大厦中现有的极限论只能是现有无穷理论体系的产物，确切地讲人类科学大厦中现有经典无穷理论体系产生了现有经典极限论。下面的分析告诉我们，现有经典无穷理论题系的三个本质性缺陷[3]及相关数谱的缺陷直接导致现有经典极限论的两大缺陷，使它无法在数学上真正对无穷事物进行定性与定量的认识、描述。
2．1 “实无穷”—“潜无穷”不分
在现有的经典无穷理论体系中，人们认为“实无穷”或“潜无穷”是与“无穷”概念相关的任何内容中很重要的一个性质，“实无穷”与“潜无穷”概念有本质性区别，但是几千年来它们既存在却又无法得到明确的定义，从而产生了人类科学大厦中一个千古未决的难题------“实无穷--潜无穷”之争[3]。现有的经典无穷理论体系中不可调解的“实无穷--潜无穷”之争对现有经典极限论的直接影响，就是无法有效地、数学地对“无穷小”、“无穷大”进行定性与定量的认识与描述。
基础理论学的研究使我们发现[1]，在现有的经典极限论中，所有与“无穷”概念相关的定义与操作都无须考虑“实无穷”与“潜无穷”问题、都和“实无穷”、“潜无穷”概念无关-----由于在经典无穷理论体系中没有明确的“实无穷”、“潜无穷”概念的定义，现有的经典极限论根本就不可能用相关语言在自己的理论体系中描述、认识“实无穷”、“潜无穷”。根据经典无穷理论体系的基础理论，“实无穷”或“潜无穷”是与“无穷”概念相关的所有内容的很重要的一个性质，但是在现有的经典极限论中，“实无穷”与“潜无穷”概念却是没有区别的，人们根本不用（实际上是没有能力）关心所要处理的、与“无穷”概念相关的任何数学内容究竟是“实无穷”或“潜无穷”，不用（实际上是没有能力）对它们进行定性与定量的区别、描述和操作。在现有极限论中，既没有（实际上是不可能有）专门区别、处理“实无穷小”或“实无穷大”的数学手段，也没有（实际上是不可能有）专门区别、处理“潜无穷小”或“潜无穷大”的数学手段，所有与无穷概念相关的数学内容都毫无商量地成了“实--潜不分”的笼统的“无穷”------统一的名称、统一的规格、统一的处理方法。这导致了用现有的经典极限论所定义、处理的任何无穷内容必然都既可以是“实无穷”也可以是“潜无穷”，没有任何原则也没有任何标准：你高兴说它是实无穷，那它就可以马上具备“据说”是实无穷性质的一切存在形式、行为、表现，而你如果改口说它应该是潜无穷，则它也可以马上就具备“据说”是潜无穷性质的一切存在形式、行为、表现．．．．．．。
2．2  “阿基米德性”的真空地带
  阿基米德性是“数”、“数学运算”的一种很重要的性质，而用现有经典极限论的任何数学语言所定义的任何“无穷小”、“无穷大”都无法让人们知道它们是否具有“阿基米德性”。在与微增量dt相关的数学分析理论中，人们根本就无法知道用现有的经典极限论所定义、处理的与“无穷”概念相关的任何数学内容是否具有“阿基米德性”，根本就不可能真正从质上与量上认识它们。整个极限论所涉及的领域成了阿基米德性的真空地带。但问题是在迄今为止的所有数学内容中，从来都没有提供任何有效的证明足以让人相信：1）凡是由经典极限论所处理的数都可以与阿基米德性无关。2）经典极限论中的所有数学运算无须考虑运算的可能性。人们确实很想解决、确实必须解决与“无穷”概念相关的数学难题与悖论，但是现有经典无穷理论体系的三个本质性缺陷[3]所导致的现有经典极限论的缺陷使人类科学中与无穷概念相关的数学领域成了“阿基米德性”的真空地带。三百多年来人们已经既无奈又“心安理得”地习惯了这样一种状况：当想让某些与无穷概念相关的数量形式参与有穷数的运算时，就说它们是“充分小”或“充分大”的东西；而如果不想让它们参与有穷数的运算时，就搬出极限论的形式语言，说他们是“极限为零”或“极限为无穷大”的东西。
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珠穆亚纳

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极限论极难学的真因：常人拒绝思想混乱的理论 黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631） 本文是黄小宁《不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误》（载《科技信息》2009（32））的第1节。 标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数和行之极有效的无穷小数分析法（以下简称w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。 有超常直觉的莱布尼茨运用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出极限论有百年胡涂话。最关键要弄清j式 0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε 中的ε是在哪一范围内任意给定的数？能否在所有正数中任意给定？不能说清此一不通则百不通的最关键问题，就表明极限论是含混不清的——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科后腿的真正原因——因正常人都有天生拒绝接受思想混乱的“高深”学说的本能。“真理都是很朴实的。”当然，应试教育会使人不正常。常人都能明白极限论断定{1/n}中“从某项起以后的各正数项1/n都<ε，明白： j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε，“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”点明没<ε的正数就没正无穷小变数，然而极限论又说无正数＜ε：“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的自相矛盾性而一直未能真懂极限论（现代有不少书直接断定：任何非0数的绝对值都不可＜ε——赤裸裸断定无正数＜ε，常见此推理：由非负数p＜ε得p必=0。例如《高考》（2004.4）4页：“若对任意(给定的正数)ε>0,总有a≤b+ε,则a≤b。…证…”（张嘉瑾主编文《不等式活题巧证》）显然因为这等价于"…..，总有a-b≤ε,则a-b≤0”所以其就是说a-b≤ε中的a-b只能是0或负数——这里的推理依据显然是：只有0与负数才能〈ε。）。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而不搞自相矛盾。“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[1]书166页） 　　[3]书在“序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书上册（二版）》（高教出版社，2003）33页：ε∈（0，1）=D——表示ε可是D的任何一个数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992.7）。无正数＜ε=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年胡涂话：①说ρ>0可取0。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才有大小关系而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！ 文献[4]第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。” “大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。 　　附注：张嘉瑾，中学数学特级教师。多年来致力于初等数学教材教法的研究，颇有心得。在省级以上杂志上先后发表论文、诗歌、散文二百多篇。出版数学专著１２册，近四百万字，其中《高中数学三部曲》、《高中数学大世界》、《高考试题研究》、《考前精彩９９》、《考前抢分１＋１》等著作深受全国广大师生的欢迎。论文和著作结构独特，内涵深刻，尤其是散文诗一样的语言在众多数学专著中独树一帜。《张嘉瑾精彩数学》系列丛书是他五易其稿，逐字推敲，花费了三年的精力，不断修改和润色的最新力作。 参考文献 　　[1]M•克莱因着、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:323。 [2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年胡涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。 　　[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。 　　[4][5][6]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）；极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。 　　 电联:13178840497 E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）