a,b 为不等于 1 的非负整数，使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数，求所有的 k 值

luyuanhong

这是台湾网友 stu055031 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

假設a,b為非負整數且a,b不等於1，並滿足(a^2+ab+b^2)/(ab-1)為非負整數，

若令為(a^2+ab+b^2)/(ab-1)為k，試求出所有可能的k值。

luyuanhong

题  a,b 为不等于 1 的非负整数，使 k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1) 为非负整数，求所有的 k 值。

解  当 a=2 ，b=2 时，有 k=(2^2+2×2+2^2)/(2×2-1)=12/3=4 。

    当 a=2 ，b=4 时，有 k=(2^2+2×4+2^4)/(2×4-1)=28/7=4 。

    当 a=4 ，b=10 时，有 k=(4^2+4×10+10^2)/(4×10-1)=156/39=4 。

    当 a=10 ，b=26 时，有 k=(10^2+10×26+26^2)/(10×26-1)=1036/259=4 。

    当 a=26 ，b=68 时，有 k=(26^2+26×68+68^2)/(26×68-1)=7068/1767=4 。

    当 a=68 ，b=178 时，有 k=(68^2+68×178+178^2)/(68×178-1)=48412/12103=4 。

    …………

    一般地，设有 Fibonacci数列：

    f1=1 ，f2=1 ，f3=2 ，f4=3 ，f5=5 ，f6=8 ，f7=13 ，f8=21 ，f9=34 ，f10=55 ，f11=89 ，……

    则当 a=2f(2n-1) ，b=2f(2n+1) 时，有  k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1)=4 。

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   当 a=2 ，b=11 时，有 k=(2^2+2×11+11^2)/(2×11-1)=147/21=7 。

   当 a=4 ，b=23 时，有 k=(4^2+4×23+23^2)/(4×23-1)=637/91=7 。

   当 a=11 ，b=64 时，有 k=(11^2+11×64+64^2)/(11×64-1)=4921/703=7 。

   当 a=23 ，b=134 时，有 k=(23^2+23×134+134^2)/(23×134-1)=637/91=7 。

   当 a=64 ，b=373 时，有 k=(64^2+64×373+373^2)/(64×373-1)=167097/23871=7 。

   当 a=134 ，b=781 时，有 k=(134^2+134×781+781^2)/(134×781-1)=732571/104653=7 。

   …………

   一般地，可以构造递推数列：x(1)=2 或 4 ，x(n+1)=3x(n)+√[8x(n)^2-7] ，n=1,2,3,……

    则当 a=x(n) ，b=x(n+1) 时，有  k=(a^2+ab+b^2)/(ab-1)=7 。