张彧典先生的几个图的4—着色

雷明85639720

张彧典先生的几个图的4—着色
雷  明
（二○一七年十一月七日）

    1、张先生的图7原图（见图1，a）：这不是米勒图，米勒图是既有A—B环形链，又有C—D环形链的图，而这个图只有C—D环形链，而没有A—B环形链。交换C—D环形链内、外的任一条A—B链，都可使图中的A—C链和A—D链变得不连通，成为没有任何连通链的K—构形（见图1的b和c）而可约。该图属于类赫渥特图型的BAB型的H—构形，即是我的H—构形不可免集中的b类构形。

2、张先生第一次转化后的图（见图2，a）：这才是一个米勒图，既有A—B环形链，又有C—D环形链。这个图只能从环形的C—D链的环内、外交换A—B链，图中虽然仍有连通的A—C和A—D链，但却不相交叉了，使图变成为可以同时移去两个同色D的K—构形（见图2的b和c）而可约（但不能从环形的A—B链的环内、环外交换C—D链，否则，将是仍有A—B和C—D两种环形链的米勒图）。由于张先生第一次转化后的这个图只能交换C—D环形链内、外的A—B链，所以它是一个DCD型的H—构形，属于我的H—构形不可免集中的a类构形。

3、张先生第二次转化后的图（见图3，a）：这个图中只有环形的C—D链，是一个类赫渥特图型的ABA型的H—构形，也即是属于我的H—构形不可免集中的b类构形。从C—D环形链内、外分别交换A—B链，也都可使图中的B—C链和B—D链变得不连通，成为没有任何连通链的K—构形（见图3的b和c）而可约。

4、张先生第三次转化后的图（见图4，a）：图中既有环形的A—B链，又有环形的C—D链，也是一个米勒图。与第一次转化后的图一样，这个图也只能从环形的C—D链的环内、外交换A—B链，使图变成虽然仍有连通的D—A链和D—B链，但两链却不相交叉（见图4的b和c），是一个可以同时移去两个同色C的K—构形，是可约的（也不能从环形的A—B链的环内、环外交换C—D链，否则，也将是仍有A—B和C—D两种环形链的米勒图）。所以张先生第三次转化后的这个图也是一个CDC型的H—构形，也属于我的H—构形不可免集中的a类构形。

5、张先生第四次转化后的图（见图5，a）：这是一个BAB型的H—构形，只有环形的C—D链，而无环形的A—B链，着色又回到了图7原图的着色情况。虽然各顶点仍没有回到图7原图原来所着的颜色，但从整个图中看，该图与图7原图的着色模式是一模一样的，把顶点的名称改换一下，两个图就成了同一个图。既然是这样，当然解决的办法也就相同了。同样是从C—D环形链内、外交换A—B链，都可以使图变成没有任何连通链的K—构形（见图5的b和c）而可约。若要使图中各顶点所着的颜色与图7原来均相同，也就必须转化（即张先生的颠倒）二十次才能做到。
6、从张先生的转化次数上看，单数转化所得到的图都是DCD（或CDC）型的米勒图，且只能从环形的C—D链内、外交换A—B链，使图变成一个可以同时移去两个同色D或C的K—构形而可约。两图均属于我的H—构形不可免集中的a类构形；而双数转化所得到的图都是类赫渥特图型的BAB（或ABA）型的H—构形，交换环形的C—D链内、外的A—B链，都可使图变成没有任何连通链的K—构形而可约。

7、张先生进行的转化，实际上是把图在类赫渥特图型的H—图与米勒图之间进行无穷的转化。应该要尽早的解决问题，就得使用我的断链方法，而不能不停的使用颠倒的方法。
8、请张先生批评指正。

附：在张先生的《米勒反例构形还有一对孪生姐妹》一文后的评论：

张先生：
    1、你书中的米勒图的图5.4是有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，图5.5是只有一种环形链A—B的赫渥特图，图5.6又是有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，图5.7又是只有一种环形链A—B的赫渥特图，图5.8又是有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，每次颠倒和结果，图总是在米勒图与赫渥特图这两种构形间进行转化，是一个无穷的过程。
    2、而你这里的图7的是一个只有一种环形链C—D的赫渥特图，第一次转化（实际上就是颠倒）后的图是一个有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，第二次转化的图又是一个只有一种环形链C—D的赫渥特图，第三次转化后的图又是一个有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，第四次转化后的图又是一个只有一种环形链C—D的赫渥特图，再转化下去又将是一个有两种环形链A—B和环形链C—D的米勒图，每转化一次，图也总是在米勒图与赫渥特图这两种构形间进行转化，也是一个无穷的过和。
    3、1和2中的这两种过程，实际上是同一个过程，都是构形在米勒图与赫渥特图间进行无穷的转化过程。
    4、你的图8虽然没有画出，但我知道它是与图7左右对称的构形。
    5、你书中的图与这里的图实质上是相同的，所以，我认为你这里的图中，应把C换成A，把D换成B，把B换成C，把A换成D，即把米勒构形都变成BAB型的构形，把赫渥特构形都就变成了DCD型的构形，这样两种图的颜色也就统一了，不再需要你解释了那么多的话了。
    6、现在看来，你书中的米勒图，就是一个左右对称的米勒构形，你这里的图7和图8就是两个左右各不相同的不对称的米勒构形，看来米勒图就有三姐妹了。
    7、只要抓住了米勒图构形有两种不同的环形链A—B和C—D这一特征，就抓住了主要矛盾了，交换环形链A—B内、外的任一条C—D链，都可以解决问题。研究不研究米勒图有多少个姐妹，都是没有关系的。
    8、解决米勒图构形的问题，不能再用颠倒法了，这样只能增加构形在米勒图与赫渥特图之间的相互转化，不能解决问题。而要只要一发现是米勒图，就得交换环形的A—B链内、外的C—D链，尽快的使问题得到解决。同样的，也只要发现了是赫渥特构形，就得交换环形的C—D链内、外的A—B链，也要尽快的使问题得到解决。
    9、张先生，你说是不是这个道理呢。


雷  明
二○一七年十一月七日于长安

注：此文已于二○一七年十一月八日在《中国博士网》上发表过，网址是：