求 log3[(3+1)(3^2+1)(3^4+1)…(3^64+1)+1/2]+log3(2) 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

王守恩

     log3[(3+1)(3^2+1)(3^4+1)....(3^64+1)+1/2]+log3(2)
=log3[(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)… (3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)… (3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^8-1)(3^8+1)(3^16+1)…(3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^16-1)(3^16+1)(3^32+1)(3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^32-1)(3^32+1)(3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^64-1)(3^64+1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[(3^128 - 1)/2+1/2]+log3(2)
=log3[3^128/2 - 1/2+1/2]+log3(2)
=log3[3^128/2]+log3(2)
=log3(3^128) - log3(2)+log3(2)
=128

luyuanhong

谢谢楼上 王守恩 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

王守恩

一， 难的不会，先想简单的，这是解题的基本方法。
联系本题，括号太多，先想只有一个括号的。
log3[(3+1)+1/2]+log3(2)
=log3[9/2]+log3(2)
=log3(9)-log3(2)+log3(2)
=2
二，事后总结一定不能少。
求 log4[(4+1)(4^2+1)(4^4+1)…(4^64+1)+1/3]+log4(3) 的值