在 ΔABC 中，有 2[sin(A/2+B/2)]^2+cos2C=1 ，a^2=b^2+c^2/2 ，求 sin(A-B) 的值

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

dodonaomikiki

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天元酱菜院

已知： 2  [sin(A/2+B/2)]^2+cos2C  =1
因A+B+C=180，  所以 (A+B)/2 = 90 - C/2；   
即有： 2  [cos C/2 ]^2+cos2C  =1
          cos 2C + cos C =0
          2 [cosC]^2 +cos C -1 =0

解出：  C=60   
         (因C为三角形的一个内角， C=60+360K 与 C=180+k360 的其他各根均不合题意，舍弃)  
可见： sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA = sin(120)=√3 /2 .............(1)
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已知：a^2=b^2+c^2/2
根据余弦定理： cos A = (b^2+c^2 - a^2)/2bc
                      cos B = (a^2+c^2 - b^2)/2ac
               有： cos A = c^2/4bc  .....................(2)
                      cos B = 3c^2/4ac  ...................(3)
(3)/(2)得到： cosB / cosA = 3b/a

由正弦定理： b/sinB = a/sin A    即   b/a = sinB/sinA
              有： cosB / cosA = 3sinB/sinA
即：   3sinB cosA - sinAcosB=0...........................................(4)

(1)-(4)得到:   2sinAcosB - 2sinBcosA = √3 /2

即： 2sin(A-B) = √3 /2
即： sin(A-B)=√3 /4
   

dodonaomikiki

        我尝试性的做了一哈

dodonaomikiki

哎呀~~~我考！重复啦;P

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 和 dodonaomikiki 的解答。

我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

天元酱菜院

dodonaomikiki 发表于 2017-11-11 16:33
哎呀~~~我考！重复啦