a,b∈Z ，试证：（1）x^2+10ax+5b-3=0 无整数解。（2）x^4-10ax+5b-3=0 无整数解

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

天元酱菜院

证明： 用反证法证明：
假若有整数x满足方程(1);
可设 x  -  10* [x /10] = T。 (其中，[y] 是取整函数 )
即, 存在整数 S= [x/10]， 使x = 10S +T    其中T∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
于是有 100S^2+20T+T^2+100aS+10aT+5b=3
等式两边以5为模， 应有同余式： T^2≡3 (mod 5)........(3)
但，分别令T遍取{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}各值， (3)式都不会成立。
即：方程(1)不会有整数解。

类似方法，可证方程(2)没有整数解


注释：取整函数，是指对自变量向左寻求整数点的操作。
  当x为整数时，[x]=x  
  当x不为整数时：
      当x>0 时，[x] 舍弃x的小数部分，
      当x<0 时，[x]= - [1-x] = - [|x|] -1
  即，不论 x 是否大于0，都有 x>=[x]

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。