单位根问题

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题目：若p为大于3的质数，如果x1,x2,……xp为p个p次单位根（不一定不同），且它们和为0，那它们一定互不相同吗？
我的解法如下：这个是因为分圆多项式是不可约的。
假设p个单位根之和为0，我们总可以通过将所有p个数乘上某个单位根，使得p个数中至少包含一个1，于是各个数之和可以写成心如
a0+a1*w+a2*w^2+...+a_{p-1}*w^{p-1}=0
其中a0,a1,...,a_{p-1}都是正整数而且和为p,w是一个单位根
但是我们知道w是方程不可约多项式1+x+x^2+...+x^{p-1}=0的根
由此得到1+x+x^2+...+x^{p-1}|a0+a1*w+a2*w^2+...+a_{p-1}*w^{p-1}
于是只能两个多项式相等
Lu老师这样对吗 或者老师有什么更好的解法吗？