满足“各位数字中，数字 n 恰好出现 n 次（n=1,2,…,9）”的七位数共有几个？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

题  满足“各位数字中，数字 n 恰好出现 n 次（n=1,2,…,9）”的七位数共有几个？

解  容易看出，满足条件的七位数，只有下列 5 种情形：

（1）7 个数字都是 7 ，这样的数只有 1 个。

（2）7 个数字中有 6 个 6 ，1 个 1 。在 7 个位置中选 1 个位置放 1 ，有 C(7,1)=7 种选法，

所以这样的数有 7 个。

（3）7 个数字中有 5 个 5 ，2 个 2 。在 7 个位置中选 2 个位置放 2 ，有 C(7,2)=21 种选法，

所以这样的数有 21 个。

（4）7 个数字中有 4 个 4 ，3 个 3 。在 7 个位置中选 3 个位置放 3 ，有 C(7,3)=35 种选法，

所以这样的数有 35 个。

（5）7 个数字中有 4 个 4 ，2 个 2 ，1 个 1 。在 7 个位置中选 1 个位置放 1 ，有 C(7,1)=7 种

选法，在剩下 6 个位置中选 2 个位置放 2 ，有 C(6,2)=15 种选法，所以这样的数有 7×15=105 个。

    由上面的分析可知，满足条件的七位数，共有 1+7+21+35+105=169 个。