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[watermark] 素数（点）分布的真相？
李海南
广西柳州
邮箱：lihn188@163.com 13977213955
摘要：一、捅破素数定理这一层窗纸。
二、如果说整数（点）是镶嵌在实数轴上的颗颗珍珠，那么素数（点）则是环绕着素数轴的点点繁星。
关键词：连续转折线 素数轴
前言
寻找素数的分布真相是人们长久以来至今一直不懈努力的目标，大家期盼能找到一个表达简洁、易于描述及精确度高的求解不大于x的素数个数π(x)的精确表达式。在将介绍新发现的关于求解不大于x的素数个数π(x)的精确表达式之前，这里先简述一下前人的一些研究结果。
第一节简述Li(x)和 R(x)
稍对数论有兴趣的人都会知道数学家高斯发现的素数分布的一个重要公式—素数定理：
公式（1） π(x) ～ x/ln(x) 或者
公式（2） π(x) ～ Li(x)
（其中：π(x)表示在 x 以内的素数个数， Li(x) ≡ ∫1/ln(x) dx）
素数定理是简洁的，如果用语言来描述则是：不大于x的素数分布的密度接近相应x的对数函数的倒数。但它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的，它给出的只是素数分布的一个渐近形式 — 也就是当 x 趋于无穷时的分布形式。从对素数实际分布及素数定理的统计数据(见附表1)中我们可以看到： π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的，而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势。
在潘承洞教授和其弟合著的《素数定理的初等证明》一书介绍到，为了描述这种偏差的程度，人们采用了带误差余项的素数定理的形式：
π(x) = Li(x)+ O
书中提到：在Riemamn猜想成立的假定条件下Von Koch 在1901年证明了素数定理带有误差余项的最好结果是下面公式：
公式（3） π(x)= Li(x)+ O（x^(1/2)lnx）
书中还提到：素数定理误差项的阶估计不会低于x^(1/2)/lnx。我们从附表2中的π(x) - Li(x)的数据可看出Li(x)是不能让表达式：
公式（4） π(x)= Li(x)+ O( x^(1/2)/lnx)
在 x → +∞ 范围内全部成立的
那么有没有一个可以比素数定理更精确地表达素数个数的公式呢？
德国数学家Riemamn另辟捷径，在通过研究Riemamnζ(s)函数时引入J(x) 这个特殊的阶梯函数使其与素数的分布联系在一起。整个证明过程引用了复变函数论 ，这对一般人而言可能还是比较难读难懂。 其思路是由 ζ(s) → J(x) → R(x)，从而提出了求解素数个数的更精确表达式：
公式（5） π(x) ～ R(x) = Σn [μ(n)/n] J(x^(1/n))
这里：1、 J(x) = Σn [(1/n)π(x^(1/n))]
2、μ(n) 被称为 Möbius 函数， 它的取值如下：
μ(1) = 1
μ(n) = 0 (如果 n 可以被任一素数的平方整除)
μ(n) =-1 (如果 n 是奇数个不同素数的乘积)
μ(n) = 1 (如果 n 是偶数个不同素数的乘积)
附表1的数据表明：R(x)的精确度是很高。
虽然至今还没有见过下面式（6）的证明过程：
式（6） π(x)= R(x)+ O(x^(1/2)/lnx)
但从附表2中π(x)-R(x)的数据表明R(x)在10^1～10^17都能使公式（6）成立，只是人们还是不知道该如何用语言来表达R(x)对素数分布的描述。
第二节Lihn（x）的推导过程
总结表达式Li(x)和 R(x)，不难发现，这两个表达式虽各有优缺点，却都不能全部满足前面提到的人们所期盼的表达简洁、易于描述及精确度高这三点要求。那么到底存在不存在这样的表达式呢？下面介绍新发现的一个求解不大于x的素数个数的π(x)的精确表达式及其推导过程，供大家讨论：
新公式推出的前提是：承认素数定理是成立的。
在素数定理成立的前提下，文章开始提到有如下公式成立，即
公式（1） π(x) ～ x/ln(x) 及
公式（2） π(x) ～ Li(x) 成立
（其中：π(x)表示在 x 以内的素数个数， Li(x) ≡ ∫1/ln(x) dx）
那么只要找到一个函数，在此设这一函数为Lihn（x），如果能证明：
式（7） x/ln(x)< Lihn（x）< Li(x)
在 x → +∞ 范围内全部成立
则 式（8） π(x) ～ Lihn（x） 也成立
下面先分析公式（1） π(x) ～ x/ln(x)
由于1/ln(x)是递减函数，所以当 x → +∞ 时，在n^2 ～ (n+1)^2的区间里有：
x/ln(x)= (n+1)^2/ln(n+1)^2 -n^2 /ln(n)^2
显然 ∵(n+1)^2/ln(n+1)^2 -n^2 /ln(n)^2 < (n+1)^2/ln(n+1)^2 -n^2/ln(n+1)^2
∴(n+1)^2/ln(n+1)^2 -n^2 /ln(n)^2 < (2n+1)/ ln(n+1)^2≈ n/ln(n+1)
∴(n+1)^2/ln(n+1)^2 -n^2 /ln(n)^2 < n/ln(n+1) 成立
亦即在n^2 ～ (n+1)^2的区间里有：
式（9） x/ln(x) < n/ln(n+1) 成立
再分析公式（2） Li(x) = ∫1/ln(x) dx
同样，由于1/ln(x)是递减函数，且当 x → +∞ 时，在n^2 ～ (n+1)^2的区间里有下式成立：
((n+1)^2-n^2 )/ln(n+1)^2 <∫1/ln(x) dx <((n+1)^2-n^2 )/ ln(n)^2
从而 n/ln(n+1) <((n+1)^2-n^2 )/ln(n+1)^2 < ∫1/ln(x) dx 成立
亦即 式（10） n/ln(n+1) <∫ 1/ln(x) dx 成立
结合式（9）和式（10）可以得出结论：
由于1/ln(x)是递减函数，所以当 x → +∞ 时且 ：
在区间n^2 ～ (n+1)^2 有： x/ln(x) < n/ln(n+1) <∫1/ln(x) dx 成立
同样道理可以推导：
在区间(n-1)^2～ n^2 有：x/ln(x) <（n-1）/ln(n) <∫1/ln(x) dx 成立
…… ……
…… ……
在区间 3^2～4^2 有： x/ln(x) < 3/ln4 <∫1/ln(x) dx 成立
在区间 2^2～3^2 有： x/ln(x) < 2/ln3 <∫1/ln(x) dx 成立
以上可以看出这明显是由 + ∞ → 0 倒推的一个例子，接下来
在区间 1^2～2^2 尽管在 1～e～4时1/ln(x)的递增递减性出现转折，但已不影响表达式 Lihn（x）的推出了，至此显然，如果设：
Lihn（x）=1/ln2+2/ln3+3/ln4+……+（n-1）/ln(n)+ n/ln(n+1)
即 Lihn（x）=∑n/ln(n+1) （这里∑的区间是1～n）
则当 x → (n+1)^2 时
式（7） x/ln(x)< Lihn（x）< Li(x) 是成立的
从而 式（8） π(x) ～ Lihn（x） 也成立
所以当x → (n+1)^2 时
π(x) ～ Lihn（x）=∑n/ln(n+1) （这里∑的区间是1～n）
这是一条连续的转折线，转折点在：1^2 2^2 3^2 4^2 …… (n-1)^2 n^2 (n+1)^2……
这容易让我们得出第一个结论：素数的分布接近一条连续转折线。
而对于任何的x，由于都存在一个整数n，使得n^2≦x≦(n+1)^2成立，显然可以如下修正Lihn（x）：
即 Lihn（x）=∑(n-1)/ln(n)+(（x- n^2）/（2n+1）)* n/ln(n+1)
（这里∑的区间是1～n）
这也就是Lihn（x）的最终表达式。
第二节Lihn（x）的余项估计
通过计算Lihn（x），附表1和附表2的数据显示，Lihn（x）的精确度是非常理想的，但它的精确程度是多少呢？就是说如果设：
式（11） π(x)= Lihn(x)+ O
那么这个余项O应该怎么估计呢？
以下是一个推测：
表达式Lihn（x）的形式很容易给人产生一个联想，假如我们把这条连续转折线当作一条轴线，并称之为素数轴，那么这条素数轴和正实数轴x相比之下会有什么相似和不同吗？
我们试按如下的性质作一比较：
1、区间和间隔值
正实数轴x是从：0 → 1 → 2 → 3 → …… → n-1 → n → …… → + ∞
可以看出，它的每一个区间的间隔值都是1，因此整数（点）是等距离出现在正实数轴x上的。
而Lihn（x）轴线则是从：1^2 → 2^2 → 3^2 → …… → （n-1)^2 → n^2 → …… → + ∞
它的各区间的间隔值却是：1/ln2 2/ln3 3/ln4 … （n-1）/ln(n) n/ln(n+1) …。而素数（点）则是环绕出现在Lihn（x）轴线上下。
2、四舍五入
众所周知有一个四舍五入的概念。
如果从取整的角度出发，那么在正实数轴上，因为对于任何的x,存在n≦x≦n+1， 若设不大于x 以内的整数(点)的个数为Z（x），则可得到求取整数（点）个数的公式 ：
（12） Z（x）=∑1 +(x-n)+O(0.5)
（这里∑1的区间是0～n,0.5则是半个区间的间隔值）
而对于Lihn（x）轴线，同样对于任何x,存在n^2 ≦x≦(n+1)^2
由于 π(x) ～ Lihn（x）
亦即式（13） π(x) ～ ∑(n-1)/ln(n)+(（x- n^2）/（2n+1）)* n/ln(n+1)
（这里∑的区间是1～n）
比较式（12）和式（13）
那么会不会有 π(x) = Lihn（x）+ O(0.5*n/ln(n+1)) 成立？
（这里的0.5*n/ln(n+1)是x值所在区间的半个间隔值）
实际上当 x → +∞ 时 0.5*n/ln(n+1) ≈ 0.5*n/ln(n) = x^(1/2)/lnx
所以能否推测 Lihn(x) 带余项O 可用下式表达？
π(x) = Lihn（x）+ O(x^(1/2)/lnx)
附表2的数据似乎证实这个结果，如果能证明其成立，这一结果就惊人地符合前面提到的潘承洞教授在《素数定理的初等证明》中的猜测：素数定理误差项的阶估计不会低于x^(1/2)/lnx。
如果把整数只看作是在实数轴系中占据的一个点——称之为整数点，把素数只看作是在素数轴系中占据的一个点——称之为素数点，或许可以得到第二个结论？就是论文开始的那段话：
如果说整数（点）是镶嵌在实数轴上的颗颗珍珠，那么素数（点）就是环绕着素数轴的繁星点点。
第三节 小结及其他
总结表达式Li(x)、 R(x)和Lihn（x），不难发现，如果按上面提到的人们所期盼的表达简洁、易于描述和精确度高这三个条件，通过下表比较可以看出Lihn（x）具有最好的特性：
表达式的简洁度 可描述程度 精确度
Li(x) 较简洁 可一般描述 不高
R(x) 较复杂 不易描述 高
Lihn（x） 很简洁 很好描述 高
表达式π(x) = Lihn（x）+ O(x^(1/2)/lnx) 仅仅是依靠推测，水平所限，不能给出证明。但连续转折线（或称之为数素轴）Lihn（x）的存在应该是无疑的，Lihn（x）的精确度也是理想的，由于Lihn（x）的存在人们或许还可以有下面的疑问：
1、关于Brocard的猜想：π(Pn+1^2)- π(Pn^2) ≧4。还是不是一个值得证明的猜想?
2、可否质疑英国数学家 John Littlewood 在1904 年证明的 “Li(x)-π(x) 是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”这一结论的正确性。
期待Lihn（x）所表达的内涵（连续转折线或称之为数素轴）能为素数分布的研究提供新的思路！
在此特别向高斯、潘承洞等中外数学家前辈的洞察力表示衷心的敬佩！
附表1
10^n π(x) Lihn（x） R（x） Li(x)
1 4 3 3 6
2 25 24 24 30
3 168 167 168 178
4 1229 1225 1227 1246
5 9592 9584 9597 9630
6 78498 78521 78469 78620
7 664579 664650 664491 664918
8 5761455 5761504 5761358 5762209
9 50847534 50847325 50847613 50849235
10 455052511 455050326 455054339 455055615
11 4118054813 4118051513 4118057131 4118066401
12 37607912018 37607907843 37607913494 37607950281
13 346065536839 346065523619 346065542612 346065645810
14 3204941750802 3204941710983 3204941770002 3204942065692
15 29844570422669 29844570438534 29844570349451 29844571475288
16 279238341033925 279238341200675 279238340706873 279238344248557
17 2623557157654233 2623557156605724 2623557158252488 2623557165610022
附表2
10^n π(x) π(x) -Lihn（x） π(x)- R（x） π(x)-Li(x) x^(1/2)/lnx
1 4 1 1 -2 1
2 25 1 1 -5 2
3 168 1 0 -10 4
4 1229 4 2 -17 10
5 9592 8 -5 -38 27
6 78498 -23 29 -130 72
7 664579 -71 88 -339 196
8 5761455 -49 97 -754 542
9 50847534 209 -79 -1701 1525
10 455052511 2185 -1828 -3104 4342
11 4118054813 3300 -2318 -11588 12485
12 37607912018 4175 -1476 -38263 36191
13 346065536839 13220 -5773 -108971 105643
14 3204941750802 39819 -19200 -314890 310210
15 29844570422669 -15865 73218 -1052619 915573
16 279238341033925 -166750 327052 -3214632 2714340
17 2623557157654233 1048509 -598225 -7956589 8078586
[/watermark][br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 lihn188995 在 时添加 -=-=-=-=-
这里的数据除了 Lihn（x） 是自己计算以外，其余的π(x) 、R（x）和 Li(x)均来自
mathworld.wolfram.com/PrimeNumberTheorem.html 。需要说明的是，即使是计算到了目前最大的素数表（1-10^23）。 Lihn（x）仍然非常理想的满足表达式：
π(x) = Lihn（x）+ O(x^(1/2)/lnx)
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发表于 2006-6-3 16:06
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