已知非零向量 u 与 v 夹角为 120°，且 u 与 u+v 垂直，下列选项是否正确？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

小小猪

正确选项：2 3

Jary

(2)   (3)

天元酱菜院

解： 以 u 的方向为 x轴正方向，以 u 的长度为单位长度， 以 u+v 方向为 y 轴正方向建立(二维)坐标系。
       设 | u+v | = k ,  |v|=t
       根据已知和设定： u = (1,0)， u+v = (0, k),   v= u+v-u = (-1,k)
       由于u,v夹角120， 有 u.v = -1 =|u|.|v|cos120 =1*t*(-1/2)=-  t/2  （即，t=2）
       由于 |v|=2, v=(-1,k)   即有 k=√3,  v=(-1,√3)
       所以，u-v=(2, -√3),
(1)  |u|=1, |v|=2,  u的长度不是v长度的2倍。 本选项为 错误
(2)  v.(u+v) =(-1,√3).(0,√3)= 3 ;  3/(|v|*|u+v|)= 3 / 2√3 =√3/2 = cos 30. 本选项 正确
(3) u.(u-v) =(1,0).(2, -√3) =2 >0,  本选项  正确
(4) v.(u-v) =(-1,√3).(2,-√3) = -2-3=-5 <0  , 本选项 错误
(5) |u+v|=√3,   |u-v| =|(2,-√3)| =√7 ,本选项 错误
==========================================
（2），（3） 正确。   其余选项错误。

==========================================
2楼，3楼 答案正确

luyuanhong

谢谢楼上 天元酱菜院 的解答。我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答：