中国圆周率公式及其它

zagjali

[这个贴子最后由zagjali在 2006/03/27 00:31am 第 6 次编辑]

中国圆周率公式及其它  
一、中国圆周率公式的分类
外国圆周率公式为高精度圆周率的计算立下了汗马功劳，并为许多数学人所熟习.下面向数学爱好者和中学生们介绍一组中国人自己研究的普及型以及专业圆周率公式：
基本公式：
⑴π＝180°sinθ∕θ 、
⑵π＝180°∕(θ cscθ)、
⑶π＝180°tgθ∕θ 、
⑷π＝180°∕(θ ctgθ) 、
（θ→0°θ＞0°）
此类公式由原理性公式（周长/直径）导出，以圆内接或外切直角三角形或正多边形的边所对应的圆心角为计算依据，外形简单，计算方便，对圆周率的概括比较全面系统；同时，既是1弧度公式和1角度公式,还是两个重要的极限公式（sinθ∕θ＝1,tgθ∕θ＝1）。
派生公式：
⑸π＝(n/2)*sin(360°∕n) 、
⑹π＝1∕((2/n)*csc(360°∕n)) 、
⑺π＝(n/2)*tg(360°∕n) 、
⑻π＝1∕((2/n)*ctg(360°∕n)) 、
（n→∞, n≥5）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切直角三角形数量为计算依据，是专用性、针对性较强的圆周率公式。
派生公式：
⑼π＝nsin(180°∕n) 、
⑽π＝n/csc(180°∕n) 、
⑾π＝ntg(180°∕n) 、
⑿π＝n/ctg(180°∕n) 、
（n→∞,n≥3）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切正多边形的边数为计算依据，是中国割圆术公式的典型代表。
派生公式还可以用通项公式表示：
① π＝（an/b)sin（180°b∕an）
② π＝（an/b)tg（180°b∕an）
（n→∞，a、b＞0）
专业公式：
⒀π＝   2＾n√（2-√（2+…√2）…）
⒁π＝3×2＾n√（2-√（2+…√3）…）
⒂π＝2×2＾n√（2-√（2+…√2）…）/√（2+√（2+…√2）…）
⒃π＝6×2＾n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…）
（n→∞，每个根式中含n 个2）
此类专业公式一般由基本公式和倍角公式或倍边公式导出，是中国割圆术的完美结局，是专业人士计算高精度圆周率的又一选择。

中国圆周率公式的核心是古代的割圆术思想，这也是暂时称为“中国圆周率公式”的重要原因。
根据以上公式和三角函数间的关系，还可导出更为复杂一些的圆周率公式。
二、中国圆周率的计算   
　　
在圆周率的日常应用中，我们根本不需要对其进行计算，因为数学家已经计算好了，直接拿来运用即可；但对于数学爱好者来说，亲自动手计算圆周率，将会进一步加深对圆周率的理解。
在计算机发明以前，圆周率的计算主要是靠手工计算和其他简易工具的计算，今天我们可以直接运用计算机或计算器进行计算。
圆周率公式非常多，我们只取其中两个最简单的基本公式和一个专业公式进行讲解：
⑴ π＝180°sinθ∕θ 、
⑵ π＝180°tgθ∕θ 、
（θ→0°θ＞0°）
一、模拟计算正24576边形的圆周率（祖率、十位计算器）
∵ θ＝180°∕24576＝0.007324219°
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝180°×0.0001278317363∕0.007324219°
＝3.1415926
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝180°×0.0001278317374∕0.007324219°
＝3.1415927

二、计算30位精度的圆周率（win系统计算器）
一般地，θ小数每增加一位，则π有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°×10＾（-15）即可。
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝sin（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
  ×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝tg（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
  ×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
上述精度已能满足大多数科研及专业应用，成千上万、上亿位的精度主要是专家们为了检验圆周率公式及程序的优劣和计算机性能的高低等特殊需要而存在的。
三、计算100位精度的圆周率（专业软件）
取π＝2＾n√（2-√（2+…√2）…）
   （n→∞）
该公式的精度一般为0.56n,即n=100/0.56≈180
π＝2＾180√（2-√（2+…√2）…）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
     58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 8
利用计算器、计算机计算圆周率效率极高，相信一定能够给数学爱好者和中学生们带来意想不到的效果。
三、中国圆周率的主要作用
在圆周率的历史长河中，由于计算工具和计算方法的落后，圆周率公式的推导主要是为手工计算而设计的，其主要作用就是为计算而计算，因而得出的圆周率公式非常复杂，除了专家们能够掌握使用外，普通人是知其然而不知所以然。所以专业型公式并不利于大众普及。
由于计算工具的快速发展，手工计算圆周率已成为历史。然而，圆周率公式依旧复杂，普通人即使利用计算器或计算机计算圆周率依然很不方便。
值得庆幸的是：中国的许多数学家和众多的业余数学爱好者们前赴后继，利用中国古代的割圆术思想与现代数学知识相结合，诞生了今天的中国圆周率公式——基本公式，该公式正好弥补了圆周率的千古缺陷。
所以，中国圆周率公式现今的主要作用是：
1、简捷、全面、准确的描述圆周率及相关性质。
2、快速、方便、有趣的计算圆周率。
欢迎数学爱好者们提出宝贵意见，以便完善。

e-mail：zjl0854@sina.com

xxljgxs

你的贴子不是自己删了吗?怎么"反悔"了?

hlc-2005

废话，夸夸其谈，不知耻辱为何事，剽窃成性。

hlc-2005

张家礼是代表华罗庚张景忠杨乐的最高水平的中国圆周率公式
是谜承和发展中国古代圆周率的经典最高文献祝愿它永垂不朽

zagjali

割圆术的其它表达式
反三角类
⑴ π＝180°x∕arcsinx 、
⑵ π＝180°x∕arctgx 、
（x→0）
派生通项公式：
⑴ π＝（an/b)sin（180°b∕an）
⑵ π＝（an/b)tg（180°b∕an）
（n→∞，a、b＞0）
通项公式可以导出许多具体的派生公式。

令a=1,b=1、2、3…则
⑴ π＝     nsin（180°∕n）
    ＝（n/2)sin（360°∕n）
    ＝（n/3)sin（540°∕n） …
⑵ π＝     ntg（180°∕n）
    ＝（n/2)tg（360°∕n）
    ＝（n/3)tg（540°∕n） …
令b=1,a=1、2、3…则
⑴ π＝nsin（180°∕n）
    ＝2nsin（90°∕n）
    ＝3nsin（60°∕n）…
⑵ π＝ntg（180°∕n）
    ＝2ntg（90°∕n）
    ＝3ntg（60°b∕n）…
欢迎指正。

hlc-2005

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