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埃拉托斯特尼筛法与哥德巴赫猜想素数不等式
文/施承忠
前言
一直以来我们对于埃拉托斯特尼筛法与素数的关系非常模糊，认为它只能筛出素数，而不能量化素数的存在。现在我们用一种非常直观的方法，从埃拉托斯特尼筛法中分解出素数抽屉，使素数的存在具有非常明确的量化结果，这是对埃拉托斯特尼筛法的一大贡献。
埃拉托斯特尼筛法与素数不等式
(1)自然数抽屉
自然数就是指1,2,3,...,n的正整数。
因为n^2=【2∑n】-n】n=1,2,3,...,n】
我们把【2∑n】-n】个自然数分放在(2n)-1个抽屉中，使自然数更具有规律化。即：
当n=10时
【1】1(1)
【1】2(2)
【2】1(3)(4)
【2】2(5)(6)
【3】1(7)(8)(9)
【3】2(10)(11)(12)
【4】1(13)(14)(15)(16)
【4】2(17)(18)(19)(20)
【5】1(21)(22)(23)(24)(25)
【5】2(26)(27)(28)(29)(30)
【6】1(31)(32)(33)(34)(35)(36)
【6】2(37)(38)(39)(40)(41)(42)
【7】1(43)(44)(45)(46)(47)(48)(49)
【7】2(50)(51)(52)(53)(54)(55)(56)
【8】1(57)(58)(59)(60)(61)(62)(63)(64)
【8】2(65)(66)(67)(68)(69)(70)(71)(72)
【9】1(73)(74)(75)(76)(77)(78)(79)(80)(81)
【9】2(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89)(90)
【10】1(91)(92)(93)(94)(95)(96)(97)(98)(99)(100)
这些自然数一旦放进抽屉，它就永远不会消失了，在哪个抽屉就永远在哪个抽屉.若要自然数增加就先要增加它的抽屉.而且这些抽屉早就在前面的抽屉中预设好了.比如抽屉【10】早在抽屉【3】2中存在，因为【3】2=(10)(11)(12).
当n=k时
k^2=【2∑k】-k】
当n=k+1时
(k^2)+k=k*k+1
(k*k+1)+k+1=(k+1)^2
所以当n=k+1时成立，当n=∞也成立。
(2)埃拉托斯特尼筛法抽屉
在自然数抽屉中，我们把n^2个自然数分放在(2n)-1个抽屉中。
现在我们把这(2n)-1个抽屉作一个埃拉托斯特尼筛法转换，成为埃拉托斯特尼筛法抽屉。
因为n^2个自然数的全部因子不大于n,n中的全部素因子p1,p2,p3,...,pk不大于n,所以所有的埃拉托斯特尼筛法抽屉都在这些抽屉中.而n的埃拉托斯特尼的筛法标记：当n是素数pk时
(k=1,2,3,...,k),n就是素数pk的抽屉，但素数pk有两个抽屉【pk】1,【pk】2.在【pk】1中存放pk个素数，在【pk】2中存放最小素因子是pk的pk个合数，其中素数必须是连续的，合数也必须是连续的。当n是pk*ht(pk*ht是第t个pk的合数，也是第t个pk的合数抽屉,ht中的因子不小于pk)是合数时【n】1，【n】2都存放最小素因子pk的n个合数.
命t'=pk+2*(pk^2)+2*(pk*h2)+2*(pk*h3)+...+2*(pk*ht-1).则pk的n个合数它们分别是：
pk*h(t'+1),pk*h(t'+2),pk*h(t'+3)+...+pk*h(t'+n)和pk*h(t'+n+1),pk*h(t'+n+2),pk*h(t'+n+3)+...+pk*h(t'+2n)，其中ht'是【pk*h(t-1)】的pk合数抽屉中最后也是最大的一个pk的合数.ht'中的因子不小于pk.【1】1存放1，【1】2存放2.
例如p1=2
这里在抽屉中使用黑括号的是素数如【(3)(5)】中3,5是素数.
【2】1【(3)(5)】=【p1】1【(p2)(p3)】
【2】2(4)(6)=【p1】2(p1*h1)(p1*h2)=【p1】2(2*2)(2*3)
【4】1(8)(10)(12)(14)=【p1*h1】1(p1*h3)(p1*h4)(p1*h5)(p1*h6)=【2^2】1(2*4)
(2*5)(2*6)(2*7)
【4】2(16)(18)(20)(22)=【p1*h1】2(p1*h7)(p1*h8)(p1*h9)(p1*h10)=【2^2】2(2*8)
(2*9)(2*10)(2*11)
【6】1(24)(26)(28)(30)(32)(34)=【p1*h2】1(p1*h11)(p1*h12)(p1*h13)(p1*h14)
(p1*h15)(p1*h16)=【2*3】1(2*12)(2*13)(2*14)(2*15)(2*16)(2*17)
【6】2(36)(38)(40)(42)(44)(46)=【p1*h2】2(p1*h17)(p1*h18)(p1*h19)(p1*h20)
(p1*h21)(p1*h22)=【2*3】2(2*18)(2*19)(2*20)(2*21)(2*22)(2*23)
.
.
.
【n】1=【p1*ht】1=【2*ht】1(2*h(t'+1))(2*h(t'+2))(2*h(t'+3))...(2*h(t'+n))
【n】2=【p1*ht】2=【2*ht】2(2*h(t'+n+1))(2*h(t'+n+2))(2*h(t'+n+3))...
(2*h(t'+2n))
p2=3
【3】1【(7)(11)(13)】=【p2】1【(p4)(p5)(p6)】
【3】2(9)(15)(21)=【p2】2(p2*h1)(p2*h2)(p2*h3)=【p2】2(3*3)(3*5)(3*7)
【9】1(27)(33)(39)(45)(51)(57)(63)(69)(75)=【p2*h1】1(p2*h4)(p2*h5)(p2*h6)
(p2*h7)(p2*h8)(p2*h9)(p2*h10)(p2*h11)(p2*h12)=【3^2】1(3*9)(3*11)(3*13)(3*15)(3*17)(3*19)(3*21)(3*23)(3*25)
【9】2(81)(87)(93)(99)(105)(111)(117)(123)(129)【p2*h1】2(p2*h13)(p2*h14)
(p2*h15)(p2*h16)(p2*h17)(p2*h18)(p2*h19)(p2*h20)(p2*h21)=【3^2】2(3*27)(3*29)(3*31)(3*33)(3*35)(3*37)(3*39)(3*41)(3*43)
【15】1(135)(141)(147)(153)(159)(165)(171)(177)(183)(189)(195)(201)(207)(213)(219)=【p2*h2】(p2*h22)(p2*h23)(p2*h24)(p2*h25)(p2*h26)(p2*h27)(p2*h28)
(p2*h29)(p2*h30)(p2*h31)(p2*h32)(p2*h33)(p2*h34)(p2*h35)(p2*h36)=
【3*5】1(3*45)(3*47)(3*49)(3*51)(3*53)(3*55)(3*57)(3*59)(3*61)(3*63)(3*65)
(3*67)(3*69)(3*71)(3*73)
【15】2(225)(231)(237)(243)(249)(255)(261)(267)(273)(279)(285)(291)(297)(303)(309)【p2*h2】2(p2*h37)(p2*h38)(p2*h39)(p2*h40)(p2*h41)(p2*h42)(p2*h43)
(p2*h44)(p2*h45)(p2*h46)(p2*h47)(p2*h48)(p2*h49)(p2*h50)(p2*h51)【3*5】2(3*75)(3*77)(3*79)(3*81)(3*83)(3*85)(3*87)(3*89)(3*91)(3*93)(3*95)(3*97)(3*99)(3*101)(3*103)
.
.
.
【n】1=【p2*ht】1=【3*ht】1(3*h(t'+1))(3*h(t'+2))(3*h(t'+3))...(3*h(t'+n))
【n】2=【p2*ht】2=【3*ht】2(3*h(t'+n+1))(3*h(t'+n+2))(3*h(t'+n+3))...
(3*h(t'+2n))
.
.
.
为了便于计算所有的抽屉都必须装满。即：
【1】1(1）
【1】2【(2)】
【2】1【(3)(5)】
【2】2(4)(6)
【3】1【(7)(11)(13)】
【3】2(9)(15)(21)
【4】1(8)(10)(12)(14)
【4】2(16)(18)(20)(22)
【5】1【(17)(19)(23)(29)(31)】
【5】2(25)(35)(55)(65)(85)
【6】1(24)(26)(28)(30)(32)(34)
【6】2(36)(38)(40)(42)(44)(46)
【7】1【(37)(41)(43)(47)(53)(59)(61)】
【7】2(49)(77)(91)(119)(133)(161)(203)
因为任何一个自然数一定有一只抽屉中可以把它存放，与前面同样一个自然数如果存放进一只埃拉托斯特尼筛法抽屉，它就永远存在决不消失。而且埃拉托斯特尼筛法抽屉是与自然数抽屉一样多的，这是存放的方法不同.
(3)埃拉托斯特尼筛法抽屉不等式
定理一：
pk((pk*ht)^2)>pk+2*h1+2*h2+2*h3+...+2*hs_1+2*hs,其中(0<hs<ht,hs在pk(x)中连续)
证：
在埃拉托斯特尼筛法抽屉中我们对抽屉作出了筛法标记，而抽屉中存放的数都是不变的。
我们用pk表示第k个素数。我们用pk(n^2)表示不大于n^2中最小素因子pk的合数的个数，而抽屉中的数直接用数字表示。我们就有pk((pk*ht)^2)≤pk+2*h1+2*h2+2*h3+...+2*ht_1+ht或≥pk+2*h1+2*h2+2*h3+...+2*ht_1+ht
比如：
我们有
p1(2^2）<2
p1(4^2）>2+4
p1(6^2）>2+(2*4)+6
p2(3^2）<3
p2(9^2）>3+9
p2(15^2）>3+2*9+15
因此我们至少能得到这样一个不等式：
pk((pk*ht)^2)>pk+2*h1+2*h2+2*h3+...+2*hs_1+2*hs,其中(0<hs<ht,hs在pk(x)中连续)
证毕。
(4)素数不等式
定理二：
π(pk^2)>1+p1+p2+p3+...+pt
t≤k
证：
我们将埃拉托斯特尼筛法抽屉中的【1】1和所有合数抽屉都去掉只剩下素数抽屉。
我们用π(pk^2)表示不大于pk^2中素数个数，pk表示第k个素数。我们有
π(p1^2)<1+p1
π(p2^2)<1+p1+p2
π(p3^2)<1+p1+p2+p3
我们至少能得到这样一个不等式：
π(p1^2)>1
π(p2^2)>1+p1
π(p3^2)>1+p1+p2
.
.
.
π(pk^2)>1+p1+p2+p3+...+pt
t≤k
因为如果π(pk^2)>1+p1+p2+p3+...+pt，按照欧几里得定理，素数是无穷的，所以一定存在
π(pk+1^2)>1+p1+p2+p3+...+pt+pt+1.
证毕。
(5)孪生素数不等式
从素数不等式定理二中得到
推论一：
T(2qk^2)>q1+q2+q3+...+qt
t≤k
证：
我们在素数抽屉中将非孪生素数的抽屉都筛掉只剩下孪生素数抽屉，即p是素数而p+2不是素数的抽屉筛掉。
我们用qk表示第k对孪生素数较小的一个,qk≠qk+2，T(n)表示不大于n中的孪生素数的对数。
因为孪生素数从qk^2中筛出q,其中q和q+2都同时在qk^2中发挥作用，所以需要2qk^2.
所以T(2qk^2)≤q1+q2+q3+...+qk或T(2qk^2)≥q1+q2+q3+...+qk.我们有
T(2q1^2)=q1
T(2q2^2)<q1+q2
T(2q3^2)<q1+q2+q3
这时我们至少能得到
T(2q1^2)>0
T(2q2^2)>q1
T(2q3^2)>q1+q2
.
.
.
T(2qk^2)>q1+q2+q3+...+qt
t≤k
因为如果T(2qk^2)>q1+q2+q3+...+qt，按照欧几里得定理，素数是无穷的，所以一定存在
π(pk+1^2)>1+p1+p2+p3+...+pt+pt+1,那么6n±1的素数，即孪生素数也是无穷的.
证毕.
(6)哥德巴赫素数不等式
从素数不等式定理二中得到
推论二：
D(4qk^2)>q1+q2+q3+...+qt
t≤k
证：
我们在素数抽屉中将非哥德巴赫素数的抽屉都筛掉只剩下哥德巴赫素数抽屉，即p是素数而2n-p不是素数的抽屉筛掉。
我们用gk表示第k个哥德巴赫素数较小的一个，当2n=2gk时gk=2n-gk.D(2n)表示2n的哥德巴赫素数对数.
因为2n=g1+2n-g1,g2+2n-g2,g3+2n-g3,+...+gk+2n-gk.
我们有
（2n）^2=4n^2≈g1+g2+g3+...+gk
由于在D(2n)中D(2n-h)和D(2n)哪一个大是不确定的.
而g是非常不稳定的素数，因为如果在n1中g1=a,而在n2中可能g1≠a.
因为孪生素数q和哥德巴赫素数g都是需要2次筛法来完成的，q很可能成为g;g很可能成为q.他们在自然数中的密度极为相似.
所以我们利用孪生素数的这一特点用D(4qk^2)≤q1+q2+q3+...+qk或D(4qk^2)≥q1+q2+q3+...+qk较为方便。我们有
D(4q1^2)>q1
D(4q2^2)<q1+q2
D(4q3^2)<q1+q2+q3
这时我们至少能得到
D(4q1^2)>q1
D(4q2^2)>q1
D(4q3^2)>q1+q2
.
.
.
D(4qk^2)>q1+q2+q3+...+qt
t≤k
不管偶数有多大，它至少有t对素数对,只要素数也不断增加.
证毕。
(7)系数计算
素数系数计算
ln为自然对数，c[k]为系数
π(pk^2)=c[k]pk^2/ln(pk^2)
有
p1=2
1+∑[k=1,1]pk=3
2^2=4
ln4=1.3862943611
4/1.3862943611=2.8853900818
3/2.8853900818=1.0397207708
c[1]=1.0397207708
p2=3
1+∑[k=1,2]pk=6
3^2=9
ln9=2.1972245773
9/2.1972245773=4.0960765199
6/4.0960765199=1.4648163849
c[2]=1.4648163849
p3=5
1+∑[k=1,3]pk=11
5^2=25
ln25=3.2188758249
25/3.2188758249=7.7666866819
11/7.7666866819=1.4163053630
c[3]=1.4163053630
.
.
.
p14=43
1+∑[k=1,14]pk=282
43^2=1849
ln1849=7.5224002314
1849/7.5224002314=245.7992054560
282/245.7992054560=1.1472779152
c[14]=1.1472779152
可以计算出c[k]当k趋向无穷时c[k]=1
孪生素数系数计算
ln为自然对数，c[k]为系数
T(2qk^2)=c[k]2qk^2/(ln(2*qk^2))^2
有
q1=3
【∑[k=1,1.q≠q+2]qk】=3
2*3^2=18
(ln18)^2=8.3542488989
18/8.3542488989=2.1545922581
3/2.1545922581=1.3923748165
【c[1]=1.3923748165】
q2=5
【∑[k=1,2.q≠q+2]qk】=8
2*5^2=50
(ln50)^2=15.3039239948
50/15.3039239948=3.2671359330
8/3.2671359330=2.4486278392
c[2]=2.4486278392
q3=11
【∑[k=1,3.q≠q+2]qk】=19
2*11^2=242
(ln242)^2=30.1284373621
242/30.1284373621=8.0322785112
19/8.0322785112=2.3654558260
c[3]=2.3654558260
.
.
.
q100=3821
【∑[k=1,100.q≠q+2]qk】=163992
2*3821^2=29200082
(ln29200082)^2=295.4851698568
29200082/295.4851698568=98820.8038127637
163992/98820.8038127637=1.6594886266
c[100]=1.6594886266
q200=9629
【∑[k=1,200.q≠q+2]qk】=814052
2*9629^2=185435282
(ln185435282)^2=362.4536873105
185435282/362.4536873105=511610.9684963552
814052/511610.9684963552=1.5911543148
c[200]=1.5911543148
q300=17207
【∑[k=1,300.q≠q+2]qk】=2141494
2*17207^2=592161698
(ln592161698)^2=408.0113283853
592161698/408.0113283853=1451336.4134850690
2141494/1451336.4134850690=1.4755324679
c[300]=1.4755324679
q400=23741
【∑[k=1,400.q≠q+2]qk】=4189920
2*23741^2=1127270162
(ln1127270162)^2=434.4333486354
1127270162/434.4333486354=2594805.7752492344
4189920/2594805.7752492344=1.6147335727
c[400]=1.6147335727
q500=32411
【∑[k=1,500.q≠q+2]qk】=7036532
2*32411^2=2100945842
(ln2100945842)^2=460.7742793750
2100945842/460.7742793750=4559598.7797968010
7036532/4559598.7797968010=1.5432349072
c[500]=1.5432349072
.
.
.
q50000=8264957
【∑[k=1,50000.q≠q+2]qk】=190879246815
2*8264957^2=136619028423698
(ln136619028423698)^2=1059.3864529037
136619028423698/1059.3864529037=128960520543.9765000000
190879246815/128960520543.9765000000=1.4801370684
C[50000]=1.4801370684
q60000=10196441
【∑[k=1,60000.q≠q+2]qk】=283129259045
2*10196441^2=207934818132962
(ln207934818132962)^2=1086.9052292962
207934818132962/1086.9052292962=191309060374.6614700000
283129259045/191309060374.6614700000=1.4799573972
C[60000]=1.4799573972
可以计算出c[k]当k趋向无穷时c[k]=a
猜想a=1(等待有人去计算巨大的数据)
哥德巴赫素数系数计算
ln为自然对数，c[k]为系数
D(4qk^2)=c[k]4qk^2/(ln(4*qk^2))^2
有
q1=3
【∑[k=1,1.q≠q+2]qk】=3
4*3^2=36
(ln36)^2=12.8416079826
36/12.8416079826=2.8033872432
3/2.8033872432=1.0701339985
c[1]=1.0701339985
q2=5
【∑[k=1,2.q≠q+2]qk】=8
4*5^2=100
(ln100)^2=21.2075924420
100/21.2075924420=4.7152924253
8/4.7152924253=1.6966073952
c[2]=1.6966073952
q3=11
【∑[k=1,3.q≠q+2]qk】=19
4*11^2=484
(ln484)^2=38.2181737936
484/38.2181737936=12.6641320596
19/12.6641320596=1.5003002109
c[3]=1.5003002109
.
.
.
q100=3821
【∑[k=1,100.q≠q+2]qk】=163992
4*3821^2=58400164
(ln58400164)^2=319.7955821992
58400164/319.7955821992=182617.1693754752
163992/182617.1693754752=0.8980097576
c[100]=0.8980097576
q200=9629
【∑[k=1,200.q≠q+2]qk】=814052
4*9629^2=370870564
(ln370870564)^2=389.3267124988
370870564/389.3267124988=952594.7028387967
814052/952594.7028387967=0.8545628036
c[200]=0.8545628036
q300=17207
【∑[k=1,300.q≠q+2]qk】=2141494
4*17207^2=1184323396
(ln1184323396)^2=436.4939436301
1184323396/436.4939436301=2713264.2119855770
2141494/2713264.2119855770=0.7892685093
c[300]=0.7892685093
q400=23741
【∑[k=1,400.q≠q+2]qk】=4189920
4*23741^2=2254540324
(ln2254540324)^2=463.8084247978
2254540324/463.8084247978=4860930.0811706470
4189920/4860930.0811706470=0.8619584997
c[400]=0.8619584997
q500=32411
【∑[k=1,500.q≠q+2]qk】=7036532
4*32411^2=4201891684
(ln4201891684)^2=491.0124467694
4201891684/491.0124467694=8557607.2697264720
7036532/8557607.2697264720=0.8222546067
c[500]=0.8222546067
.
.
.
q30000=4553411
【∑[k=1,30000.q≠q+2]qk】=62962539862
4*4553411^2=82934206939684
(ln82934206939684)^2=1027.1428059411
82934206939684/1027.1428059411=80742625523.9135000000
62962539862/80742625523.9135000000=0.7797930703
C[30000]=0.7797930703
q40000=6381467
【∑[k=1,40000.q≠q+2]qk】=117627491884
4*6381467^2=162892484288356
(ln162892484288356)^2=1070.8674730390
162892484288356/1070.8674730390=152112645485.5199300000
117627491884/152112645485.5199300000=0.7732920002
C[40000]=0.7732920002
q50000=8264957
【∑[k=1,50000.q≠q+2]qk】=190879246815
4*8264957^2=273238056847396
(ln273238056847396)^2=1104.9883160956
273238056847396/1104.9883160956=247276874214.2575700000
190879246815/247276874214.2575700000=0.7719251848
C[50000]=0.7719251848
q60000=10196441
【∑[k=1,60000.q≠q+2]qk】=283129259045
4*10196441^2=415869636265924
(ln415869636265924)^2=1133.0893755161
415869636265924/1133.0893755161=367022800894.6809700000
283129259045/367022800894.6809700000=0.7714214440
C[60000]=0.7714214440
可以计算出c[k]当k趋向无穷时c[k]=a
猜想a=1/2(等待有人去计算巨大的数据)
全文完。
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发表于 2019-6-13 08:50
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