无割边3—正则平面图（地图）面着色色数的判断

雷明85639720

无割边3—正则平面图（地图）面着色色数的判断
雷  明
（二○一七年十二月四日）

我们已经证明了泰特猜测是正确的，即3—正则平面图的可3—边着色等价于其可4—面着色，也证明了任何3—正则平面图都是可3—边着色的，当然这也就等价于证明了地图的四色猜测是正确的。
现在任给一个3—正则的平面图（地图），如何能很快就确定它的色数是多少呢。
1、首先要排除3—正则平面图是否可哈密顿对四色问题的干拢。1880年泰特根据一个错误的猜想——任何三次平面图（即3—正则平面图）都有哈密顿圈，认为他证明了四色猜测是正确的（修正其是如何证明的，并不清楚），但到1946年图论大师塔特构造了一个没有哈密顿圈的平面三次图，说明了并不是所有的3—正则平面图都是可哈密顿的，也就说明了泰特对四色猜测的证明也是错误的。可见四色猜测的正确与否与3—正则平面图的是否可哈密顿是没有关系的。我们已经对不可哈密顿的塔特图和目前已知最小（顶点数最少）的平面三次图和可哈密顿的赫渥特地图进行了面着色，都是可4—着色的，其色数都是不大于4的。这就也从着色的实践上也说明了3—正则平面图的4—着色与其是否有哈密顿圈是没有关系的。这就可以排除3—正则平面图是否可哈密顿对四色问题的干拢。
2、既然3—正则平面图都是可3—边着色的，则其面着色时，与各个顶点（三界点）相邻的三个面就得分别用三种颜色着色，着1色与2色的边所夹的面用A色，着1色与3色的边所夹的面用B色，着2色与3色的边所夹的面用C色。这就是说，用两种颜色的边围成的面（偶数边面）就点用了A、B、C三种颜色，而用三种颜色的边所围成的面（奇数边面）就只能用第四种颜色D了。可见，我们的猜想：含有奇数边面的3—正则平面图（地图）的色数一定是4，而不含奇数边面（即所有面都是偶数边面）的3—正则平面图（地图）的色数则一定是3是正确的。塔特图和目前已知最小的平面三次图以及赫渥特地图中都有奇数边面，其色数都是4；而正六面体和所有面都是偶数边面的图，其色数都是3。但色数是3的图也是可以着上4种颜色的，如正六面体的色数虽是3色，但也可以着成4种颜色的图。
3、如何防止把一个色数是3的3—正则平面图（地图）着成4色图呢，也是一个需要研究的问题。在着色过程中，我们在采用颜色叠加法着色时，得出了所用两种边2—色圈如果只要有一条是哈密顿圈时，得到的图一定是4色的，若所用的两种边2—色圈全都是非哈密顿圈时，则得到的图一定是3色的。这也就是说，一个无奇数边面的3—正则平面图（地图）在边着色时，至少要有两种边2—色圈是哈密顿圈时，才能保证颜色叠加时的两种边2—色圈中至少有一种是哈密顿圈，这时的图是4色的；而只有三种边2—色圈都是非哈密顿圈时，也才能保证颜色叠加时的两种边2—色圈都是非哈密顿圈，这时的图才是3色的。可以看出这种即可着成3色，也可着成4色的无奇数边面的3—正则平面图（地图）一定是一个可哈密顿的图，因为当它着成4色的时候，其中一定有一种边2—色圈是哈密顿圈。这种图虽是可哈密顿的图，但在边着色时，也可以着成三种边2—色圈都是非哈密顿圈的图。正六面体的可3—边着色就是这样的。
4、特殊地图的色数的确定：
对于“国中之国”的地图，严格的来说，它不是一个图，因为它没有任何顶点，缺少了构成图的最基本的元素，而只有一条环形的边，但它却是一个实实在在的地图，如非洲的莱索托就是这样的国家。这样的地图两种颜色就够了，莱索托一种颜色，其外围国南非用另一种颜色就可以了，画地图的纸可以用与莱索托相同的颜色。
对于“两国夹国”的地图，它却不但是一个实在的地图，也是一个实在的图，因为其中既有顶点（三界点）又有边，如蒙古等国就是这样的国家。这种地图三种颜色也就够用了，蒙古用一种颜色，其外围国中国和俄国各用一种颜色，共三种。画地图的纸可以与用与蒙古相同的颜色。可以看出蒙古这样的“两国夹国”的地图实际上就是所有面都是偶数边面的地图。
可以看出，除了特殊的“国中之国”的地图的色数是2外，其他任何地图的色数都是3或4。
雷  明
二○一七年十二月四日于长安
   

雷明85639720

，，，，，，，，