与张彧典先生共同讨论

雷明85639720

与张彧典先生共同讨论
雷  明
（二○一七年十二月五日）

      张先生，你最近在你的博客中所发的《破解四色猜想“染色困局”的一组操作》中的字太小，一般都看不清。我本想好好的研究一下，但因为看不清，也就没有办法了。《破解四色猜想“染色困局”的一组操作中的文献1（续）》中，你在最后有两个注，其中第2注中说：“论文第6页中的图11有错误，右边C色区域下面丢掉了一个D色区域，如下图右边图（图11的对偶图）中的D1。”你说的是对的，他在图的右边少画了一个面，应把C面从中间隔开，变成上C下D两个面，使最外边成为一个五边形。你画的图11的两个对偶图都是对的（如图1）。
这个图11我认为就是你的第八构形类似的图，图中有连通且相交叉的A—C链和A—D 链，不能同时移去两个同色B，A—B链和C—D链都是直链，且只有一条，只能采用颠倒法（我叫做转型交换法）解决。逆时针颠倒一次后，图由图1的123—BAB型的构形变成一个451—CDC型的构形（如图2），也是你的第八构形一类，C—D链和A—B链都是直链且只有一条，只能再继续颠倒了。再逆时针颠倒第二次后是一个234—ABA型的构形（如图3），还是一个类似你的第八构形的构形。进行第三次逆时针颠倒后，图就变成了一个512—DCD型的构形，其中有环形的A—B链，是属于我的b类H—构形（如图4）。按b类构形的办法处理就可以了如图（如图5和图6）。   



图1是张先生的第八构形一类的图，当然也就是我的c类构形了。但我的c类构形只需进行一次颠倒，就可使图变成可以同时移去两个同色C（或D）的K—构形，或者变成我的b类构形。而图1则需要颠倒三次才能变成我的b类构形。这是为什么呢。原因就在于图1中的A—B链和C—D链都是左右对称的（如图7右边的图1），而我对c类构形所画的图则是左右不对称的（如图7左边的两个图）。图1不存在满足一次颠倒后可变成可同时移去两个同色的K—构形或变成b类构形的条件，所以才在前两次颠倒后都同样是与图1类似的c类构形，而在第三次颠倒后才变成了b类的H—构形。

      张先生的第八构形也是一个不对称的c类H—构形，完全可以只进行一次颠倒，就可变成一个可以同时移去两个同色C（或D）的K—构形，或者变成一个b类H—构形。这一点我们已经做到了，但不知张先生为什么要进行八次颠倒呢。
图1和敢峰—米勒图都是在颠倒了三次次后，都变成了512—DCD型的b类H—构形，但图1前两次变型后的图都仍是c类H—构形，第三次颠倒后才成为b类构形；而敢峰—米勒图却是第一次变型后就可得到b类构形，就可以空出颜色来，第二次变型后又回到了a类构形，第三次颠倒又变成了b类构形，这是为什么呢。我们还搞不明白，但可知道两个图虽都是对称的图，但图1的图只有一个对称轴，而敢峰—米勒图却有五个对称轴。敢峰—米勒图每旋转72度时，图都可以重合一次，而图1却是万万办不到的，它只能旋转360度时，图才能重合一次。这就是两图的最大区别。所以也才有到达可空出颜色时的颠倒次数的不同。

      另外，由于张先生不是连续的引用了文献的全文，也看不出原作者认为该图（本文中的图1）是否可以4—着色。按张先生文章的标题看，文献中的图11（即本文的图1）可能就是“染色困局”的一种，可能原作者是不能对其进行4—着色的，但张先生文章的标题叫《破解四色猜想“染色困局”的一组操作》，却又没有看到张先生对这个图如何进行4—着色的，实在令人遗憾。请张先生也谈谈对这个图的4—着色办法来，我们是否可以交换意见。
从以上的论述中可以看出，同样是同一个图，但由于着色的模式不同，就是不同的构形。从张先生的图5.4到图5.8，都是同一个图，但除了图5.8与图5.4是相同的构形外，其他各图均与图5.4是不同的构形；本文这里的图1到图5，虽是同一个图，但却是5个不同的构形，仅管图1到图4的四个图是同一类构形，但却不是相同的构形。
      由此可进一步理解什么是构形，即构形是只有一个顶点未着上图中已用过的四种颜色之一的图。这个待着色顶点在图中所处的位置不同，就是不同的构形，图中各链的相互关系不同，也是不同的构形，但却仍是同一个图。所以我认为张先生不把图中的顶点用数字编号，指出顶点名称，而用数字对图中某一种颜色用了几次进行编号的做法是不太合适的。
      平时我们表示构形的方法，只是用待着色顶点和围栏顶点来表示的，而省略了围栏以外的所有着有四种颜色之一的其他顶点。这就是我们平常所说的构形。在此我再次重申，构形中只能有一个待着色顶点，不可能有两个以上的待着色顶点。所以所谓的（5，5）构形和（5，6）构形都是错误的，王树禾先生在其《图论》书中对构形的定义也是错误的。

雷  明
二○一六年十二月五日于长安

   

雷明85639720

你已被子禁止了，还跑来干什么？