【趣题】您有没有特别快捷、巧妙的办法来验证sin10°=1/9，是错误の啊？

dodonaomikiki

谢谢
具体见图！！！

dodonaomikiki

       
计算器
sin(10°) = 0.17364817766693

天元酱菜院

若sin(10°) = 1/9；  则  sin(90°) /  sin(10°)  恰等于 90/10 ,  
就会有：  （0°, sin(0°)）， （10°，sin(10°)），  （90°, sin(90°)） 三点共线
结合正弦函数在第一象限的图形，这是不可能的。

更正式一点，将会由拉格朗日中值定理推出 cos(a) = cos(b)  其中  0 < a<10°<b< 90°
由于cos函数在第一象限的严格单调减性质，这是不可能的。

dodonaomikiki

天元酱菜院 发表于 2017-12-13 00:18
若sin(10°) = 1/9；  则  sin(90°) /  sin(10°)  恰等于 90/10 ,  
就会有：  （0°, sin(0°)）， （1 ...

第一个例子，我理解

dodonaomikiki

更正式一点，将会由拉格朗日中值定理推出 cos(a) = cos(b)  其中  0 < a<10°<b< 90°
由于cos函数在第一象限的严格单调减性质，这是不可能的

这第二个，我百思不得其解！甚为苦恼

天元酱菜院

拉格朗日中值定理：
如果函数  满足：
（1）在闭区间 [a,b] 上连续；
（2）在开区间 (a,b) 内可导；
那么在开区间 (a,b)  内至少有一点 c, a<c<b  使等式 f(b) - f(a) = f ' (c)  (b-a)  成立。

据此,假若sin(π/18)=1/9
有     sin(π/18) - sin(0) = cos(t) *（π/18 - 0） -->  cos(t)= (1/9)/(π/18) =2/π， ( 0<t<π/18 )
又有  sin(π/2) - sin(π/18) = cos(s)*(π/2 - π/18) --> cos(s)=(1-1/9)/(8π/18)=2/π,  (π/18<s<π/2)
--> cos(t)=cos(s)  ...(0<t<π/18<s<π/2)
在第一象限的两个不同值s 和 t ，他们的余弦值不会相同。

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两种说法实际是一回事。 那就是正弦曲线在第一象限不可能与某直线有三个交点。
第一种说法，直接利用正弦图形；
第二种说法，假设有三交点，那么中间那个交点分出来的两段曲线就将至少各有一点斜率相同于那条直线。

dodonaomikiki

一开始，
也没有人跟帖与恢复，
于是，我想：或许我提的问题，可能过于无聊且不值得予以思考。



加之，自己功力肤浅，

就索性计算器上搞一下，把sin1o°の值，搞出来拉到！



想不到，
几天之后，酱菜院老师给与拉详尽回答，
还提供拉两种方法，
并且牵涉到拉牛逼哄哄のLangrange  mean  value  theorem
十足佩服！
激烈感谢！