无尽小数的等价定义.

denglongshan

实无限
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“实无穷”一般是指“实无限”

实无限
实无限(2)
德国数学家康托尔（1845-1918）首创集合论，大胆地向“无穷大”进军，提出了实无穷的思想，为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。实无限是一种关于无限的理解，与潜无限思想相对。支持实无限的人主张可把无限视作一个整体，是已经完成了构造的实体。
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数学上的实无穷思想是指：把无限的整体本身作为一个现成的单位，是已经构造完成了的东西，换言之，即是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。按照此观点，所有的 自然数可以构成一个 集合，因为可以将所有的自然数看做是一个完成了的无穷整体。 康托的 朴素集合论就是建立在实无穷的基础之上的。举个形象点的例子就是，一条线段上的点有无穷个，但是这条线段本身又是有限的。

数学上存在着 潜无穷与实无穷之争，就如同哲学上存在着 唯物主义与 唯心主义之争。而且必将长时间的持续的争论不休。数学上的潜无穷思想是指：把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着被不断产生出来的东西来解释。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在。把无限看作为永远在延伸着的（即不断在创造着的永远完成不了的）过程。按照此观点，自然数不能构成为一个集合，因为这个集合是永远也完成不了的，它不能构成一个实在的整体，而是永远都在构造之中。举个形象点的例子就是，构成一条直线的点有无穷个，并且这条直线永远延伸着，不会有终结的一天。

摘自搜狗 百科

elim

搜狗百科到底唯物还是唯心也不好说: 首先要问什么是"完成".
平面上所有点完成了没有? 显然如果这是指完成逐一枚举或写出坐标,那么显然没有. 这种问题甚至不配成为数学问题. 但若说这些点并不全部完成了自身的存在, 那就荒谬了: 确定了一个平面, 就肯定了其上全部点的存在.
所谓实无穷观点,指的就是对无穷集合及其确定的存在性的肯定. 例如实无穷论者肯定自然数集合是一个无穷集合,其中没有缺失而有待构造(的自然数, 同理, 当我们说欧式空间中一切直角三角形均满足勾股定理时, 我们就肯定了欧氏空间中直角三角形的集合包含了一切直角三角形, 因而是一个实无穷集合. 它的元素有一个共性, 就是满足勾股定理. 很显然, 勾股定理是一个全称判断, 它以论域的确定不变性为前提.

反对这样的实无穷观, 就没有数学. 难怪 jzkyllcjl 的数学里面空空如也, 啥都建立不了. 他的东西具有根深蒂固的寄生性: 依赖于他反对的东西而活.

jzkyllcjl

denglongshan 发表于 2019-7-3 15:26
实无限
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“实无穷”一般是指“实无限”

实无限与潜无限的争论 需要使用唯物辩证法解决。具体一点，就是理想与现实、无穷与有穷、精确与近似相互依存、相互斗争、分工合作的对立统一法则是阐述数学理论的根本法则；实践是检验真理的最终的唯一标准。
在尊重事实的情况下，自然数集合中的元素是无有穷尽的，是无法被完成的，是一个理想数学元素，理想的自然数集合的研究中需要依赖有限的自然数集合。例如： 定义1：理想自然数（简称为自然数）是忽略了现实集合中各个元素的质的差别与大小差别之后的、从现实集合研究中抽象出来的表达现实存在的集合的元素个数多少的符号（其中，比较特殊的是：0表示的是没有元素的空集合的元素个数）。
公理1：（自然数无穷数列的构造法则及其性质）；①自然数的十进记数法是自然数无穷数列的构造法则；②按照从小到大的顺序，得到下边的数列：
      0，1，2，3，…11,……                  （1）
将这个数列的通项记作n，则得数列{n}的广义极限为符号+∞表示的非正常实数，所以这个数列叫做无穷数列；③这个数列具有永远写不到底性质，所以笔者称这个数列为想象性质的理想数学元素中理想性数列；④数列（1）中不存在无穷大自然数；这个数列中的数都可以被写出；所以笔者称这个数列中的数都是现实数学元素；都是有限自然数；⑤ 由于这个数列在数学理论中的基础性作用，所以笔者称这个数列为基础性质的无限增大着的数列。
定义2：若集合满足条件：①元素个数为有限自然数，②集合本身不能作为集合的一个元素，则称这样的集合为正常集合；否则，叫非正常集合。
例1 理想自然数集合的构造过程及其理想性质：由（1）式可以依次做出正常集合的无穷序列
{0}，{0，1}，{0，1，2}，…，{0，1，2，3，4，5，6，7，8。9。10。11}…… （2）
这个序列（2）的趋向性质的事物可以写作N={0，1，2，3，……n，……}，笔者称N是序列（2）的广义极限性质的想象性质的、无法构作完毕或完成的理想自然数的理想集合。其元素个数为符号+∞表示的非正常实数；,它是序列（2）中的各个正常集合元素个数数列{n+1}广义极限性质的非正常实数, 依照定义2，这个集合为非正常集合。
例2 文献[1]19-20 页讲道:1638 年意大利天文学家伽利略提出的问题：“正整数集合
                       S1= {1, 2, 3，… n，…}
与正整数的平方数集合
                           S2= {1, 4, 9，… n2,…}
的两个集合中，哪一个元素更多一些呢？[1]”。按照笔者的无穷集合是趋向性广义极限事物的意见，这两个集合的元素个数分别为： 。两者的比为： 。这说明：全体大于部分，自然数集合的元素个数比其子集合（正整数平方集合）的元素个数多得多。也说明：康托儿使用一一对应法则得到“它们的个数是相等的”[1]（即两者有共同无穷基数阿里夫0 [1]）的无穷集合理论是错误的。
公理2：自然数理想集合不可构造完毕的性质是必须尊重的，在解决生产实际问题时，理想自然数集合需要使用（2）式中的可构成的现实自然数集合替换。但理想自然数集合也是需要提出的理想性数学元素。理想集合与现实集合各有各的用处，两者之间具有相互依存的对立统一性质，任何不尊重事实的片面的说法 都是行不通的。

elim

jzkyllcjl 发表于 2019-7-3 15:50
实无限与潜无限的争论 需要使用唯物辩证法解决。具体一点，就是理想与现实、无穷与有穷、精确与近似相互 ...

jzkyllcjl 口口声声说辩证唯物方法, 实际上只做两件事:吃狗屎和啼猿声.

你问他自然数构造到哪里了? 哪个自然数还有待构造, 他的回答会唯物吗? 他的唯物不过是唯狗屎够劲, 而已.