一道小学数学竞赛题

天山草@

如上图，O 是三角形 ABC 内部的一点，已知 △OAB 面积是 60，△OAC 面积是 30，△OBC 面积是 120。
另外，D 在 AB 上，AD 与 DB 的长度之比是 3:2；E 在 AC 上，AE 与 EC 的长度之比是 2:1。连接 DE 交
OB 于 M，交 OC 于 N。
问：(1) OM:MB=?    (2) △OMN 的面积是多少？

天山草@

这道题是 2017 年大师赛五年级二试题。我做了半天也没有找到门路。

ysr

思路先求△ADE的面积，作DF平行于BC，交AC于F，则求出△ADF的面积，再由边AF:FE求出△DFE的面积，从而求出△ADE的面积，与△ABC的面积的比近似看作高的比的平方，DE近似平行于底边。△OBC与△ABC面积的比等于高的比，因底边相同。
四边形DBCE高与△ABC的高的比，近似于四边形MBCN与△ABC高的比值，进一步推导则可得出△OMN与四边形MBCN的高的比，从而得出△OMN与△OBC的高的比值，由于底边不相同，按相似△来考虑，面积的比等于相似比的平方，从而得出△OMN的面积。再进一步求第二问，只能算近似值。

不知这样可否？最多算估算，更精确或准确或叫正确的值，好象条件不够。

希望老师指导！

天山草@

上面这题做是能做出来的。不过我用的方法很多，等高模型、燕尾模型、鸟头模型、相乘模型、解方程，都用到了。这叫使出浑身解数，或是拿出十八般兵器，才解出的。所以是小题大做了，虽然这些方法都是小学五年级奥数范围，但是我想一定还有简单巧妙的解法。

ysr

厉害厉害，可能有巧妙解法，我想不起来了。

xfhaoym

所有奥数全是死的,最害人了!所以中国出不了数学家!

王守恩

天山草@ 发表于 2017-12-11 10:47
上面这题做是能做出来的。不过我用的方法很多，等高模型、燕尾模型、鸟头模型、相乘模型、解方程，都用 ...

AB×AC=5u×3v=210
AD×AE=3u×2v=84
OB×OC=3a×5b=120（注）
OM×ON=1a×2b=16（注）
三角形ODP面积/三角形DPB面积=18/36=MO/MB=1a/2a
三角形OPE面积/三角形PEC面积=10/15=NO/NC=2b/3b
灵活运用同底等高面积相等及三者之间的比例关系。

王守恩

引理一。
O 是三角形 ABC 内部的一点，延长AO交BC于K，则：
三角形AOB面积/三角形AOC面积=三角形KOB面积/三角形KOC面积。
引理二。
O 是四边形 ABCD对角线AC,BD 的交点，则：
三角形AOB面积/三角形AOD面积=三角形COB面积/三角形COD面积。
当然，利用比例的性质，引理一，引理二可以生出很多变化来。

红树

wangyangke

天山草（新鲜葡萄）：几乎所有新鲜葡萄都是养人的！问题是：会不会所有葡萄干都是有毒、害人的？