用《分角定理》证明《张角定理》与《三弦定理》(13)

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似乎异想天开                                                                        实则其来有自
中学数学解题基本思路之一：《解题之路,自有题示.》
问题为何如此解出
数学无法搞假,能在纸上搞定.
用《分角定理》证明《张角定理》与《三弦定理》(13)
用《分角定理》证明《张角定理》
《张角定理》为中国人发现,即三角形内有一分角线,被分角正弦与分角线之比等于各分角正弦与不相邻边的比之和。用图表述；△ABC中,AD内分∠BAC, 则有(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= ( sin∠BAC/AD)。
证明；由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)•(AD/AB) →
(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)•(sin∠BAC/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→
(BD/BC)=(sin∠BAD/ sin∠BAC)•(AD/AC) →(sin∠BAD/ AC)= (BD/BC)•(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→
(sin∠CAD/ AB)+ (sin∠BAD/ AC)= sin∠BAC(BD+CD)/(BC•AD)=( sin∠BAC/AD)。证毕。
用《分角定理》证明《三弦定理》
《三弦定理》为辽宁鞍山青年教师侯明辉在2005年发现,已被国家和国际数学部门承认。内容是；由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之和。用图表述；圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P,根据《三弦定理》,有以下关系,
ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。
证明如下；连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB•CP=CD•AP→
AB•CP－CD•AP=0→同理→AC•BP－BD•AP=0, 所以有AB(AB•CP－CD•AP)=0,  AC(AC•BP－BD•AP)=0,两式相加→AB•AB•CP + AC•AC•BP=AB•CD•AP +AC•BD•AP=AP(AB•CD+AC•BD)=AP•BC•AD⑴(托氏定理)。
由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) •(AB/AP), →
(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC) •(AB•AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→
(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC) •(AC•AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→
(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=( AB•AB•CP+ AC•AC•BP)/BC•AP, 由⑴→
( AB•AB•CP+ AC•AC•BP)/BC•AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP) / sin∠BAC=AD, 所以,
ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。
0757-83210285,0739-2351089,0739-5344277,zglfirst@265.com.古稀老人张光禄2006,6,18

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所谓的《三弦定理》最早报道在《人间方圆》杂志上（2000.03期），“已被国家和国际数学部门承认”等难以置信。有时间了把报道文章贴出来。用托勒密定理可以轻松搞定。《张角定理》早就有，并非中国人发现

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俞根强 闹蠢货 或理直气壮 或忍气吞声 俞氏荣耀 似上台阶 欣看云烟过眼
刘忠友 论单位 每战无不胜 每踌躇满志 刘家虚华 如入淡墨 喜听空穴来风