直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a公式直求法

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  在温家宝总理的推动下，首届全国民间科技发展研讨会已于是2005年12月17日在长沙召开，会议通过成立了民科促进会组织。首届民科会论文集，成果发布会，民科网站建设都在积极推进中。
  首届全国民间科技发展研讨会首批推荐发布成果：
                     直角三角形a^2+b^2=c^2整数解的定a公式直求法
                                    庄  严
                            （中国辽阳     111000）
摘要：在直角三角形边长abc关系中，利用ab边条件求得第三边，这是人们的普遍做法。定a公式直求法的发现打破了人们的传统认识。利用定a公式直求法，在abc三边关系中，只要给定一个a值整数，就可求得另两边bc的整解关系。这种方法简单方便，易教易学，具有特殊的实用价值和理论义意。
关键词  平方整数解公式直求法    增元求解法
引言：a^2+b^2=c^2整数解性质，在2000多年前就已被发现。计算直角三角型形边长关系的勾股弦定理，体现了我国古代劳动人民的聪明智慧。近代有关费马大定理的的研究，也大多从a^2+b^2=c^2关系入手。
关于平方整数解的求法，古希腊数学家丢番图（Diophantna）给出的法则是√2ab为完全平方数时，可构造出a^2+b^2=c^2整解关系。这里的平方整数解受ab两个条件制约，而且这个理论也无法回答，当a为全体整数时，其a^2+b^2=c^2关系能否成立？现在利用定a公式直求法，只要一个a值条件，就可求得bc的整解关系。同时由公式直求法得出，当a为≥3的全体整数时，a^2+b^2=c^2 的整数解关系都成立。
一，直角三角形a^2+b^2=c^2的a值奇偶数列法则：
定理1． 如a^2+b^2=c^2是直角三角形的三个整数边长，则必有如下a值的奇数列、偶数列关系成立；
（一）直角三角形a^2+b^2=c^2奇数列a法则：
若a表为2n+1型奇数（n=1、2、3 …）， 则a为奇数列平方整数解的关系是：
    a=2n+1
{  b= n^2+（n+1）^2-1
    c= n^2+（n+1）^2
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将奇数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：
（2n+1）^2+（n^2+（n+1）^2-1）^2=（n^2+（n+1）^2）^2
化简后得到：
4n^4+8n^3+8n^2+4n+1=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1
即等式关系成立；
由法则条件分别取n=1、2、3 …  时得到了：
    3^2+4^2=5^2
    5^2+12^2=13^2
    7^2+24^2=25^2
    9^2+40^2=41^2
    11^2+60^2=61^2
    13^2+84^2=85^2        
     …
                                         故得到奇数列a法则成立
（二）直角三角形a^2+b^2=c^2的偶数列a法则：
   若a表为2n型偶数（n=2、3、4…）， 则a为偶数列平方整数解的关系是：
    a= 2n
{  b= n^2 -1
    c= n^2+1
证：由勾股弦定理，若abc为直角三角形三边整数时必有a^2+b^2=c^2关系成立，现将偶数列a法则条件代入勾股弦定理得到下式：
（2n）^2+（n^2-1）^2=（n^2+1）^2
化简后得到：
n^4+2n^2+1=  n^4+2n^2+1
即等式关系成立；
（这里需要说明，当取n=1时，有b= n2 –1=1-1=0，此时失去三角形意义，故只能取n=2、3、4…）
由法则条件分别取n=2、3、4 …  时得到了：
    4^2+3^2=5^2
    6^2+8^2=10^2
    8^2+15^2=17^2
    10^2+24^2=26^2
    12^2+35^2=37^2
    14^2+48^2=50^2     
    …
                                        故得到偶数列a关系成立
                                              故定理1关系成立
    由定理1得出，当a为≥3的全体整数时， a^2+b^2=c^2的整数解关系都成立。
二，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“增比计算法则”
    定理2． 如a^2+b^2=c^2是直角三角形边长的一组整数解，则有（an）^2+（bn）^2=（cn）^2（其中n=1、2、3…）都是整数解；
证：由勾股弦定理，凡a^2+b^2=c^2是整数解必得到一个边长都为整数的直角三角形  
a      c，根据平面线段等比放大的原理，三角形等比放大得到 2a     2c；3a      3c；
    b                                                      2b           3b
4a      4c；…         na        nc,
    4b                      nb             由a、b、c为整数条件可知，2a、2b、2c；
3a、3b、3c；4a、4b、4c …   ，  na、nb、nc都是整数。                                                                        
                                                      故定理2得证   
应用例子：
    例2．证明303^2+404^2=505^2是整数解？
解；由直角三角形3      5   得到3^2+4^2=5^2是整数解，根据增比计算法则，以直角三
                     4
角形 3×101      5×101 关系为边长时，必有303^2+404^2=505^2 是整数解。
            4×101
三，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解“定差公式法则”
               3a + 2c + n = a1
（这里n=b-a之差，n=1、2、3…）
  定理3． 若直角三角形a^2+b^2=c^2是满足b-a=n关系的整数解，那么，利用以上3a+2c+ n = a1公式连求得到的a1、a2、a3…ai 所组成的平方数组ai^2+bi^2=ci^2都是具有b-a=n之定差关系的整数解；
证：取n为1，由直角三角形三边3、4、5得到3^2+4^2=5^2，这里n=b-a=4-3=1，根据 3a + 2c + 1= a1定差公式法则有：
      a1=3×3+2×5+1=20                  这时得到
      20^2+21^2=29^2                     继续利用公式计算得到：
      a2=3×20+2×29+1=119               这时得到
      119^2+120^2=169^2                  继续利用公式计算得到
      a3=3×119+2×169+1=696             这时得到
      696^2+697^2=985^2
          …
                                                     故定差为1关系成立
     现取n为7，我们有直角三角形21^2+28^2=35^2，这里n=28-21=7，根据 3a + 2c + 7 = a1定差公式法则有：
     a1=3×21+2×35+7=140                这时得到
     140^2+147^2=203^2                   继续利用公式计算得到：
     a2=3×140+2×203+7=833              这时得到
      833^2+840^2=1183^2                 继续利用公式计算得到：
     a3=3×833+2×1183+7=4872            这时得到
     4872^2+4879^2=6895^2
           …
                                                      故定差为7关系成立
   再取n为129，我们有直角三角形387^2+516^2=645^2，这里n=516-387=129，根据 3a + 2c + 129= a1定差公式法则有：
    a1=3×387+2×645+129=2580              这时得到
    2580^2+2709^2=3741^2                   继续利用公式计算得到：
    a2=3×2580+2×3741+129=15351           这时得到
    15351^2+15480^2=21801^2                继续利用公式计算得到：
    a3=3×15351+2×21801+129=89784         这时得到
    89784^2+89913^2=127065^2
           …
                                                   故定差为129关系成立
                                                   故定差n计算法则成立
                                                       故定理3得证
  以上给出了三种平方整数解的不同求法，但是仍未能涵盖全体平方整数解，在引入增元法概念后，我们将给出全体平方整数解的代数关系。
定义．增元求解法
  在多元代数式的求值计算中引入原计算项元以外的未知数项元加入，使其构成等式关系并参与求值运算。我们把利用增加未知数项元来实现对多元代数式求值的方法，叫增元求解法。
     四，直角三角形边长a^2+b^2=c^2整数解的“增元定a计算法则”
     定理4．如a、b、c分别是直角三角形的三边，Q是增元项，且Q≥1，满足条件：
             a≥3、4、5 …
          {  b=（a^2-Q^2）÷2Q
             c= b+Q
    则此时，a^2+b^2=c^2是整数解；
证：在正方形面积关系中，由边长为a得到面积为a^2，若（a^2-Q^2）÷2Q =b（其中Q为增元项，且b、Q是整数）,则可把面积a^2分解为a^2=Q^2+Qb+Qb，把分解关系按下列关系重新组合后可得到图形（图一）其缺口刚好是一个边长为b的正方形。补足缺口面积b^2
  Q2     Qb   后可得到一个边长为 b+Q的正方形。现取b+Q =c，根据直角三角形边长
              关系的勾股弦定理a^2+b^2=c^2条件可知，此时的a、b、c是直角三角形   
  Qb           的三个整数边长。
（图一）
                                                         故定理4得证
应用例子：
例1．利用增元定a计算法则求直角三角形a边为15时的边长平方整数解？
解：取a为15，选增元项Q为1，根据定a计算法则得到
             a= 15
          {  b=（a^- Q^2）÷2Q=（15^2-1^2）÷2 =112
             c= b+Q =112+1=113
所以得到平方整数解15^2+112^2=113^2
再取a为15，选增元项Q为3，根据定a计算法则得到：
             a= 15
          {  b=（a^2-Q^2）÷2Q=（15^2-3^2）÷6=36
             c= b+Q =36+3=39
     所以得到平方整数解15^2+36^2=39^2
例2．计算a=60时全部平方整数解？
解：利用b=（a^2-Q^2）÷2Q；c= b+ Q关系计算得到：
b=（60^2-2^2）÷(2×2)=899；c= 899+ 2；所以有：60^2+899^2=901^2
b=（60^2-4^2）÷(2×4)=448；c= 448+ 4；    所以有：60^2+448^2=452^2
b=（60^2-6^2）÷(2×6)=297；c= 297+ 6 ；   所以有：60^2+297^2=303^2
b=（60^2-8^2）÷(2×8)=221；c= 221+ 8 ；   所以有：60^2+221^2=229^2
b=（60^2-10^2）÷(2×10)=175；c= 175+ 10； 所以有：60^2+175^2=185^2
b=（60^2-12^2）÷(2×12)=144；c= 144+ 12； 所以有：60^2+144^2=156^2
b=（60^2-18^2）÷(2×18)=91； c= 91+ 18 ； 所以有：60^2+91^2=109^2
b=（60^2-20^2）÷(2×20)=80；c= 80+ 20；   所以有：60^2+80^2=100^2
b=（60^2-24^2）÷(2×24)=63；c= 63+ 24 ；  所以有：60^2+63^2=87^2
b=（60^2-30^2）÷(2×30)=45；c= 45+ 30 ；  所以有：60^2+45^2=75^2
b=（60^2-36^2）÷(2×36)=32；c= 32+36 ；   所以有：60^2+32^2=68^2
b=（60^2-40^2）÷(2×40)=25；c= 25+ 40 ；  所以有：60^2+25^2=65^2
b=（60^2-50^2）÷(2×50)=11；c= 11+ 50 ；  所以有：60^2+11^2=61^2
  增元定a计算法则，当取a=3、4、5、6、7 … 时，通过满足Q为整数的不同取值，将一个不漏地求出全部平方整数解。

参考文献：
华罗庚数论导引1979科学出版社。
版权登记号：06—2006—A—01号

wangyangkee

俞根强 闹蠢货 或理直气壮 或忍气吞声 俞氏荣耀 似上台阶 欣看云烟过眼
刘忠友 论单位 每战无不胜 每踌躇满志 刘家虚华 如入淡墨 喜听空穴来风

申一言

下面引用由wangyangkee在 2010/06/07 08:39pm 发表的内容：
俞根强 闹蠢货 或理直气壮 或忍气吞声 俞氏荣耀 似上台阶 欣看云烟过眼
刘忠友 论单位 每战无不胜 每踌躇满志 刘家虚华 如入淡墨 喜听空穴来风

   王杨客 灌臭水 必遗臭万年 必报复心切 王杨美梦 像踏云烟 忧看末日来临！