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证明费尔马大定理成立，
即 求证齐次不定方程 X^i+Y^i=Z^i, 当i≥3时无正整数解.
证
因为中华簇
(√X^i）ˆ2+(√Y^i)ˆ2=(√Z^i）ˆ2≌X^i+Y^i=Z^i,i=0,1,2,3,,,,
符合勾股定理
即 Aˆ2+Bˆ2=Cˆ2，其中A=√Xˆi,B=√Yˆi,C=√Zˆi
a.中华簇的通解:
Xo=(2mn)^2/i
Yo=(m^2-n^2)^2/i
Zo=(m^2+n^2)^2/i
b. m=[(√Z^i+√Y^i)/2]^1/2
n=[(√Z^i-√Y^i)/2]ˇ1/2 (证略)
1.当i=2时
(1) X^2+Y^2=Z^2, 即勾股方程,当然符合勾股定理!
因此 在 X=2mn,Y=m^2-n^2 ,Z=m^2+n^2，m＞n,m,n为正整数时有正整数解.
把 X=2mn,Y=m²-n²,Z=m²+n²代入(1)式得:
(2mn)^2=(m^2+n^2)^2-(m^2-n^2)^2
(2^2)m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4-m^4+2m^2n^2-n^4
(2^2)m^2n^2=(2^2)m^2n^2 ,两边同时除以m^2n^2得:
2^2=2^2[(mn)^2/(mn)^2]
其中 m＞n,式子中分子等于分母,所以m,n可以是任意符合勾股数的正整数,
因为左边=2^2
右边=(2^2)*[(mn)^2/(mn)^2]=2^2*1=2^2
所以 左边=右边,并且都是正整数.
因此当i=2时
即 X^2+Y^2=Z^2, 有无穷多正整数解!
2.i≥3时:
(2) X^3+Y^3=Z^3,
因为i为任何正整数时都符合勾股定理，假设此时有整数解，
所以把X=2mn,Y=m^2-n^2 ,Z=m^2+n^2 代入(2)式得:
(2mn)³+(m²-n²)³=(m²+n²)³
(2mn)³=(m^2+n^2)³-(m^2-n^2)³
2³m³n³=(m²+n²)³-(m²-n²)³ 两边同时除以m³n³得:
2³=[(m²+n²)³-(m²-n²)³]/m³n³
=(m^6+3m^4n^3+3m^2n^4+n^6-m^6+3m^4n^2-3m^2n^4+n^6)/m^3n^3
=(6m^4n^2+2n^6)m^3n^3
=6(m/n)+2(n/m)³
由通解知:
m/n={[(√Z^i+√Y^i)/2]^1/2}/{[(√Z^i-√Y^i)/2]^1/2}
因为 m＞n m/n是分数(小数)，m/n≠n/m≠1
因此当仅当m=n时, 即(m/n)=1,或(n/m)³=1.
左边=2³
右边=6+2=8=2³
才有正整数解
而Y=m^2-n^2=m^2-m^2=0
所以 X^3=Z^3,即X=Z,
因此 XYZ=0时有平凡正整数解!
而没有 XYZ≠0的非平凡的正整数解
因为该式右边的系数和符合杨辉三角数的和,
(a+b)º 1 ---------------------------------1=2^0
(a+b)¹ 1 1----------------------------1+1=2=2^1
(a+b)² 1 2 1-------------------------1+2+1=4=2^2
(a+b)³ 1 3 3 1---------------------1+3+3+1=8=2^3
(a+b)4 1 4 6 4 1----------------1+4+6+4+1=16=2^4
(a+b)5 1 5 10 10 5 1----------1+5+10+10+5+1=32=2^5
(a+b)6 1 6 15 20 15 6 1----1+6+15+20+15+6+1=64=2^6
* * * *
(a+b)^i * * * * * *----------------------=2^i
因此同理可证：
3.当n=i时：
因为左边=2^i
与 右边=a(m/n)ˆα+b(n/m)ˆβ+,,,+c(m/n)ˆγ=2i相等
因此只有当 m=n时
才能使右边的系数和 Sn=a+b+,,,+c=2i
又此时 Y=(m^2-n^2)^2/i=(m^2-m^2)^2/i=0
因此X^i=Z^i,即X=Z,
所以当i≥3之后齐次不定方程
X^i+Y^i=Z^i,
只有XYZ=0的平凡解;没有XYZ≠0的非平凡正整数解.
但是有无穷多非整数解.
即通解如下：
Xo=(2mn)^2/i,
Yo=(m^2-n^2)^2/i
Zo=(m^2+n^2)^2/i
费尔马大定理成立!
证毕!
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狗仔卡
发表于 2012-5-11 11:17
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