[求助]已知三角形重心，如何反求三角形

Quincy

如题，现在有三角形的重心，如何反推出三角形的形状呢？
如下图，三角形是有限制的，就是三个顶点分别处于相距120度的三个方向上（在直角坐标系下）。这样应该是一一对应的，但是怎么反求呢？
就是说知道Xc=(x1+x2+x3)/3, Yc=(y1+y2+y3)/3，如何求(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)?
请高手指点，多谢

Quincy

为什么没有人解呢？这个因为有定点必须分别位于相隔120度的三个方向的约束，所以除了标准的等边三角形外，是一一对应的，可是怎么解呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/04 08:27pm 第 1 次编辑]

下面引用由Quincy在 2012/05/11 10:25am 发表的内容：
为什么没有人解呢？这个因为有定点必须分别位于相隔120度的三个方向的约束，所以除了标准的等边三角形外，是一一对应的，可是怎么解呢？

可以证明：当各顶点到重心连线夹角为 120°时，这个三角形必定是正三角形（等边三角形）。
但是，正三角形可大可小、放置的方向可正可歪，所以无法确定三个顶点的具体位置。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/04 08:28pm 第 1 次编辑]

在一般的三角形中，三角形各顶点到重心连线的夹角，不一定是 120°。
如果不要求各顶点到重心连线的夹角是 120°，那么三角形各顶点的位置，就更不确定了。

Quincy

[这个贴子最后由Quincy在 2012/05/11 06:10pm 第 3 次编辑]

多谢版主的回答，版主回答的问题是没有错，理论上来说的确等边的时候完全不确定，任意型是也有问题。
可能是我说的不够清楚，专业。我的假设是三角形的三个顶点分别处于直角坐标系下相隔120度的三个方向上（这个是固定的）且三角形为非等边三角形（如您所证，此时重心是相同的）。
也就是说，在直角坐标系下，
顶点A一定位于90度的方向，即x1一定为0，而y1不确定；
顶点B一定位于210度方向，即x2=3^0.5y2，而y2不确定；
顶点C一定位于330度方向，即x3=-3^0.5y3，而y3不确定；
这样的情况下即使三角形相应边平行（相似），但是由于三个顶点的方向固定，且三个方向的起始点和直角坐标的原点相重合，所以重心是不一样的。因此，从三角形->重心向是唯一的，反之也是唯一的。但问题是现在不知道该如何证明并且求解。多谢

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2013/02/04 08:31pm 第 4 次编辑]

Quincy

搞明白了，多谢解答。看来我一开始的假设有问题，多谢