请陆教授帮忙求一个级数

qingjiao

[这个贴子最后由qingjiao在 2012/05/10 08:28am 第 1 次编辑]

[B]
在此先感谢了！
[/B]

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》论坛发表过的一个帖子：

qingjiao

这个帖子有印象。陆教授是说s为复数的情况和实数一样吗？
那么这个展开式的定义域是否s=全体复数？s=0时，是0/0的未定式，似乎不必特别规定s=0的值。s=0，根据罗必塔法则，(s)`/(e^s-1)`=1/e^s=1？

cysa

这个帖子有印象。陆教授是说s为复数的情况和实数一样吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/10 04:24pm 第 1 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2012/05/10 02:34pm 发表的内容：
这个帖子有印象。陆教授是说s为复数的情况和实数一样吗？
那么这个展开式的定义域是否s=全体复数？s=0时，是0/0的未定式，似乎不必特别规定s=0的值。s=0，根据罗必塔法则，(s)`/(e^s-1)`=1/e^s=1？

对实数成立的 Taylor 展开式，对复数同样成立。
当 s 是复数时，函数 f(s)=s/(e^s-1) 只有一点 s=0 是它的奇点，但是，s=0
是可去奇点，只要令 f(0)=1 ，就可以使得 f(s) 在整个复平面上解析，所以，
f(s) 的 Taylor 展开式的收敛半径是 ∞ ，也就是说，它对任何复数都收敛。

qingjiao

下面引用由luyuanhong在 2012/05/10 04:23pm 发表的内容：
对实数成立的 Taylor 展开式，对复数同样成立。
当 s 是复数时，函数 f(s)=s/(e^s-1) 只有一点 s=0 是它的奇点，但是，s=0
是可去奇点，只要令 f(0)=1 ，就可以使得 f(s) 在整个复平面上解析，所以，
f(s) 的 Ta ...

所谓奇点是包括0/0这样的未定式吗？换言之，不只有a/0，a≠0才称为奇点？
如果根据罗必塔法则，这个0/0有极限，那么也称为奇点？
如果本例中，定义f(0)≠1，是否该函数在f(0)处不解析，但仍在其他区域解析（包括0附近任意小的区域）？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/05/10 10:34pm 第 2 次编辑]

下面引用由qingjiao在 2012/05/10 09:46pm 发表的内容：
所谓奇点是包括0/0这样的未定式吗？换言之，不只有a/0，a≠0才称为奇点？
如果根据罗必塔法则，这个0/0有极限，那么也称为奇点？
如果本例中，定义f(0)≠1，是否该函数在f(0)处不解析，但仍在其他区域解析（包括 ...

奇点就是使得函数值没有定义、或者使得函数值趋于无穷大的点。
例如，凡是使得分母为 0 的点，就是奇点。因为数学中规定分母不可以是 0 ，
如果分母为 0 ，函数就没有定义，还很有可能在这一点函数值会趋于无穷大。
奇点又可以分为好几种。其中有一种奇点叫做“可去奇点”。例如 f(z)=sin(z)/z ，
当 z=0 时，分母为 0 ，函数值没有定义，所以 z=0  是它的奇点，但是，当 z→0 时，
f(z)=sin(z)/z→1 ，极限存在，像这种奇点，就称为“可去奇点”，因为表面上看来，
当 z=0 时，分母为 0 ，函数值没有定义，但是只要补充定义 f(0)=1 ，整个函数就
处处有定义而且连续了，奇点实际上就被去掉不存在了，所以这种奇点称为“可去奇点”。
一个除了奇点以外，处处解析的函数，如果它的奇点是“可去奇点”，那么只要补充定义，
使得在奇点处的函数值，等于极限值，这个函数就变成在整个复平面上处处解析了。
当然，如果有人故意捣乱，偏偏要将这一点的函数值，定义成与极限值不同的值，那么，
这个函数在这一点就不连续了，当然更不可导了，那就不是处处解析了。